Nombres presque parfaits

Nombres presque parfaits
Message de chloe8 posté le 05-02-2018 à 22:35:31 (S | E | F)
Bonsoir,
Je me demande pourquoi les nombres presque parfait sont tous des multiples de 2?
Merci d'avance

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Réponse : Nombres presque parfaits de wab51, postée le 06-02-2018 à 17:13:27 (S | E)
Bonjour
Vous n'aviez pas à vous demander "Pourquoi les nombres presque parfait sont tous des multiples de 2",tout simplement parce que les nombres presque parfait ne sont pas tous des multiples de 2 .Pour cela ,il suffit de citer un seul petit contre exemple :
le nombre 6 est un multiple de 2 car 6=2*3 et pourtant le nombre 6 n'est pas un nombre presque parfait car ses diviseurs propres sont 1,2,3 (voir définition d'un nombre presque propre)et la somme de ses diviseurs propres est égale à 6 (1+2+3=6) n'est pas égale à 5 c'est à dire de ce nombre 6 diminué de 1 , donc ne répond pas à la définition d'un nombre presque parfait .
Autre contre exemple :le nombre 10 est multiple de 2 et a pour diviseurs propres 1,2,5 et leur somme 1+2+5=8 n'est pas égale à 9 (10-1=9 )et par conséquent n'est pas un nombre presque parfait .
*Dire qu'un nombre est un multiple de 2 ,veut dire que c'est un nombre pair autrement dit se termine par un chiffre d'unité soit o,2,4,6 ou 8 .
**Résultat important:
Les seuls nombres presque parfait connus sont toutes les puissances de 2 ( de la forme 2^k) pour un certain nombre naturel k néanmoins ,il n'y a pas été montré que tous les nombres presque parfait sont de cette forme .
exemples de nombres presque parfait :2 ;4=2^2 ,8=2^3, 16=2^4 , 32=2^5 , ....
le nombre 8=2^3 a pour diviseurs propres 1,2,4, et leur somme=1+2+4=7 et en plus 8-7=1 ,donc 8 est un nombre presque parfait .
***un nombre presque parfait est un nombre parfait à l'unité près . Merci

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Réponse : Nombres presque parfaits de puente17, postée le 06-02-2018 à 19:02:17 (S | E)
Bonjour,

Wab je ne sais pas si c'est ce qu'à voulu dire Chloé mais en fait elle a demandé pourquoi un nombre impair ne pourrait pas être presque parfait.
"Pourquoi les nombres presque parfaits sont tous des multiples de 2" ce qui ne veut pas dire: "Pourquoi les nombres presques parfaits sont l'ensemble des multiples de 2".
Dans le cas de 6 on a un nombre parfait.
Je pense que la somme des diviseurs d'un nombre impair est strictement inférieur à ce nombre (simple conjecture).
Dans le cas où n = p^n avec p premier et p > 2 c'est facile à démontrer (pour un terminal S ), en effet:
1+p+p^2+ .... + p^(n-1) = S et S = (p^n -1)/(p - 1) qui 'visiblement est inférieur à p^n - 1'
Pour le cas général je sèche
d'autre part Chloé dit avoir 14 ans alors ...

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Réponse : Nombres presque parfaits de wab51, postée le 06-02-2018 à 22:42:13 (S | E)
Bonsoir puente
Merci beaucoup pour cette précision .Désolé! pour cette étourderie .J'avais saisi la question sous un autre sens .Que chloé m'excuse .
C'est à travers les discussions que jaillisse la lumière .Merci encore une fois puente et que chloé soit partie prenante .
Bonne nuit

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