Paradoxe de saint petersbourg
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Message de benj971 posté le 22-05-2016 à 18:59:10 (S | E | F)
Bonjour j'ai un devoir maison sur le paradoxe de saint petersbourg et je bloque sur plusieurs questions :
Un joueur joue contre la banque au jeu de Pile ou Face en misant toujours sur Face.Il adopte la stratégie suivante:Il mise 1€ au premier coup et si Pile sort,il double la mise au coup suivant,tant que Face ne sort pas.
Si Face sort il récupère sa mise et augmentée d'une somme équivalente a cette mise
Le joueur dispose d'une fortune limité qui lui permet de perdre au maximum n coups consécutifs et si Pile sort n fois de suite le joueur ne peut plus miser et arrête le jeu.La fortune de la banque,elle,n'est pas limitée.
Une partie consiste pour le joueur à miser,si,sa fortune le lui permet, jusqu'à que Face sorte.
Il s'agit de déterminer la probabilité pour le joueur de gagner une partie son gain algébrique, et d'analyser l'intérêt pour le joueur de jouer à ce jeu.
On suppose que le joueur mise n fois. Si face sort avant le Nème coup le joueur ne mise rien les coups suivants?On suppose également qu'il dispose d'une fortune de 1000€.
On note:
An l'événement:"Le joueur obtient n Pile"
G l'événement:"Le joueur gagne la partie ".
X La variable aléatoire égale au rang du premier Face, en convenant que ce rang vaut 0 si Face ne sort pas
Y la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
Partie A Modélisation Mathématiques
1 Justifier qu'avec une fortune de 1000€, on a n=9
2 calculer p(A9) puis P(G)
3 Dresser la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
4 a Expliquer pourquoi la variable aléatoire Y prend ses valeurs dans {+1;-511}
b Dresser la loi de probabilité de la variable aléatoire Y
c Montrer que E(Y)=0
Voila ce que j'ai fais:
1 Je sais que le joueur double sa mise à chaque fois qu'il obtient Pile il double la mise, c'est à dire 1€ puis 2€ puis 4€ etc...On a donc une suite avec 2^n le joueur possède 1000€,10^10=1024 ce qui dépasse les 1000€ dans n=9 soit 512
2 P(A9)=(1/2)^9=(1/512)
Si la probabilité de gagner est de (1/512) alors la probabilité de perdre sera de 1-(1/512)=(512/512)-(1-512)[tex]\simeq
0.99[/tex]
Pour la loi de probabilité je pense faire une erreur(X=0)=(1/2)
pour le petit 4 je ne vois pas ce que je peux faire.
Message de benj971 posté le 22-05-2016 à 18:59:10 (S | E | F)
Bonjour j'ai un devoir maison sur le paradoxe de saint petersbourg et je bloque sur plusieurs questions :
Un joueur joue contre la banque au jeu de Pile ou Face en misant toujours sur Face.Il adopte la stratégie suivante:Il mise 1€ au premier coup et si Pile sort,il double la mise au coup suivant,tant que Face ne sort pas.
Si Face sort il récupère sa mise et augmentée d'une somme équivalente a cette mise
Le joueur dispose d'une fortune limité qui lui permet de perdre au maximum n coups consécutifs et si Pile sort n fois de suite le joueur ne peut plus miser et arrête le jeu.La fortune de la banque,elle,n'est pas limitée.
Une partie consiste pour le joueur à miser,si,sa fortune le lui permet, jusqu'à que Face sorte.
Il s'agit de déterminer la probabilité pour le joueur de gagner une partie son gain algébrique, et d'analyser l'intérêt pour le joueur de jouer à ce jeu.
On suppose que le joueur mise n fois. Si face sort avant le Nème coup le joueur ne mise rien les coups suivants?On suppose également qu'il dispose d'une fortune de 1000€.
On note:
An l'événement:"Le joueur obtient n Pile"
G l'événement:"Le joueur gagne la partie ".
X La variable aléatoire égale au rang du premier Face, en convenant que ce rang vaut 0 si Face ne sort pas
Y la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
Partie A Modélisation Mathématiques
1 Justifier qu'avec une fortune de 1000€, on a n=9
2 calculer p(A9) puis P(G)
3 Dresser la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
4 a Expliquer pourquoi la variable aléatoire Y prend ses valeurs dans {+1;-511}
b Dresser la loi de probabilité de la variable aléatoire Y
c Montrer que E(Y)=0
Voila ce que j'ai fais:
1 Je sais que le joueur double sa mise à chaque fois qu'il obtient Pile il double la mise, c'est à dire 1€ puis 2€ puis 4€ etc...On a donc une suite avec 2^n le joueur possède 1000€,10^10=1024 ce qui dépasse les 1000€ dans n=9 soit 512
2 P(A9)=(1/2)^9=(1/512)
Si la probabilité de gagner est de (1/512) alors la probabilité de perdre sera de 1-(1/512)=(512/512)-(1-512)[tex]\simeq
0.99[/tex]
Pour la loi de probabilité je pense faire une erreur(X=0)=(1/2)
pour le petit 4 je ne vois pas ce que je peux faire.
Réponse: Paradoxe de saint petersbourg de genijose, postée le 24-05-2016 à 01:02:15 (S | E)
Bonsoir ou bonjour Benj971
Pour le 4 tu peux t'aider d'un arbre ... il perd ou il gagne.
Il gagne il obtient le double de sa mise mais il faut ôter la mise ou l'ensemble des mises déjà jouées et tu trouveras toujours 1€
Il perd ... tu additionnes les pertes qui se montent à 1 .. 2 ... 4 etc ... suite géom mais notre joueur ne s'arrête que si il gagne !!! donc il s'arrêtera uniquement quand il ne pourra plus doubler sa mise !
Et tu trouves bien le +1; -511 proposé
Loi de proba de Y p(Y=1) = ... c’est sa probabilité de gagner
p(Y=-511)= c’est sa probabilité de perdre !
Espérance = somme des Gi*p(Y=i) avec Gi "gains algébriques"
Et comme tu t'es trompé en écrivant que p(A9) était sa probabilité de gagner alors que A9 c'est perdre car que des piles p(A9)=1/512 .
C'est presque terminé ...en espérant ne pas me tromper ...ou t'induire en erreurs.
A bientôt.
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