Exercice TS dérivation (2 questions)

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Exercice TS dérivation (2 questions)
Message de mel12 posté le 30-10-2016 à 15:16:10 (S | E | F)
Bonjour, j'ai un exercice à faire en mathématique niveau terminale S
J'ai réussi à répondre aux 3/4 des questions (19 en tout ^^) mais la dernière partie me pose problème.

énoncé :
ABC est un triangle rectangle en A, M est un point de [BC], la perpendiculaire à (AB) passant par M coupe [AB] en E et la perpendiculaire à (AC) passant par M coupe [AC] en F (voir la  figure ci-jointe que j'ai réalisée avec Géogébra)
Le but de cet exercice est de déterminer la position du point M sur [BC] telle que la distance EF soit minimale.
On posera AB = b,  AC = c,  AE = e et  AF = f

I) déjà fait
fin du II) cas général ( avec b>0 et c>0 quelconques mais fixés) :

qst 20)    On pose : $f(x) = \sqrt{(1+\frac{c^2}{b^2})x^2-2\frac{c^2}{b}x+c^2}$

Etudier cette fonction f sur l'intervalle I [0;b] puis en déduire (en fonction de b et de c) :
- les coordonnées du point M telle que EF soit minimale
- cette longueur minimale EF

D'après moi (mes recherches) : pour étudier le sens de variation de la fonction f, il faut étudier la fonction polynôme qui est sous la racine.
Comme on est sur un intervalles où u(x) >0 , les fonctions u et racine de u ont le même sens de variation.

PS : si ça peut aider j'ai trouvé dans les questions précédentes les infos suivantes :

-  la longueur EF est égal à $\sqrt{(1+\frac{c^2}{b^2})e^2-2\frac{c^2}{b}e+c^2}$

- les coordonnées de M sont : $(e;-\frac{c}{b}e +c)$

- l'équation de la droite (BC) est $y = -\frac{c}{b}x+c$

MERCI d'avance pour votre aide

lien image géogébra : Lien internet

Réponse : Exercice TS dérivation (2 questions) de puente17, postée le 30-10-2016 à 18:33:49 (S | E)
Bonjour,

Vous avez fait le plus gros du travail !
soit x = AE.
EF = f(x) = rac ((-c/b*x+c)² + x²) et comme vous le faites remarquer f(x) est une distance, elle varie donc dans le même sens que son carré.
f²(x) = ((c/b)²+1) x² -2c²/b x + c²
fonction polynôme du second degré dont le sens de variation est une simple question de cours dérivée et tableau de variation. Je vous laisse faire les calculs.
Par curiosité on peut traiter le cas particulier b = c (= 1)

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