Exponentielle complexe
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Message de delphy54 posté le 05-11-2016 à 11:27:51 (S | E | F)
J'ai un dm de maths sur exponentielle et je n'ai pas très bien compris certaines questions :
II- Etude géométrique
On définit une application exp C --> C
f (z) = e^R(z) e^i*I(z) appelée exponentielle complexe. Si z apartient à C, on note exp(z) = e^z. On note T la transformation du plan qui au point M d'affixe z associé le point M' dd'affixe e^z.
1.Soit k appartenant a R. On note Dk la droite d'équation x=k, et Dk l'ensemble des affixes des points de Dk.
a. En raisonnant par double inclusion, montrer que Dk = {k + iy, y appartenant a R}
b. Déterminer l'image de Dk par exp
c. En déduire l'image de la droite Dk par T. Que trouve-t-on pour k=0 ?
d. Sur un même graphique, tracer D-1 et T(D-1) en noir
D0 et T(D0) en vert et D1 et T(D1) en rouge.
Je n'ai pas tout compris...
Pourriez vous m'aider ?
Merci d'avance
Message de delphy54 posté le 05-11-2016 à 11:27:51 (S | E | F)
J'ai un dm de maths sur exponentielle et je n'ai pas très bien compris certaines questions :
II- Etude géométrique
On définit une application exp C --> C
f (z) = e^R(z) e^i*I(z) appelée exponentielle complexe. Si z apartient à C, on note exp(z) = e^z. On note T la transformation du plan qui au point M d'affixe z associé le point M' dd'affixe e^z.
1.Soit k appartenant a R. On note Dk la droite d'équation x=k, et Dk l'ensemble des affixes des points de Dk.
a. En raisonnant par double inclusion, montrer que Dk = {k + iy, y appartenant a R}
b. Déterminer l'image de Dk par exp
c. En déduire l'image de la droite Dk par T. Que trouve-t-on pour k=0 ?
d. Sur un même graphique, tracer D-1 et T(D-1) en noir
D0 et T(D0) en vert et D1 et T(D1) en rouge.
Je n'ai pas tout compris...
Pourriez vous m'aider ?
Merci d'avance
Réponse : Exponentielle complexe de puente17, postée le 05-11-2016 à 21:01:40 (S | E)
Bonjour,
e^z = e^x * e^iy = e^x * (cos y + i sin y) et quand y parcourt [0 , 2pi] alors Mz parcourt le cercle de centre O et de rayon e^x. Si y parcourt R alors M parcourt une infinité de fois ce cercle.
Cette définition donne la réponse à de nombreuses questions. quant à la question a) ce qui peut dérouter c'est son écriture , le même symbole Dk représentant 2 objets différents, un ensemble de points et l'ensemble des abscisses de ces points.
Notons D'k l'ensemble des affixes des points de Dk et dk = {k+iy; y€R}, il faut alors démontrer que D'k est inclus dans dk et que dk est inclus dans D'k (c'est la double inclusion dont parle la question.
Bon courage.
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