Suite numérique

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Suite numérique
Message de hedoris posté le 16-04-2017 à 18:31:06 (S | E | F)
Bonjour, j'ai un DM sur les suites numériques à rendre.

Voici l'exo 1 :
Soit la suite Un définie apar U0=-2, U1=1 et par Un+2=0,5*(Un+1+Un).

1)Calculer les 5 premiers termes de la suite.

Je trouve U0=-2, U1=1, U2=-0,5, U3=0.25, U4=-0.125

2)Montrer que la suite Vn définie par Vn=Un+1-Un est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

Pour moi, Vn=1-2=-1
Vn+1=Un+2-Un+1=-0,5-1=-1,5
Donc, Vn+1/Vn=-1,5/-1=1,5.
La raison est 1,5 et le premier terme est -1.

3)Exprimer Vn en fonction de n.

Vn=-1*1,5^n

4)Soit Sn= V0+V1+V2+...+Vn-1. Exprimer Sn en fonction de n. En déduire l'expression de Un en fonction de n.

Je n'ai pas compris cette question, pouvez-vous me l'expliquer ?
Et pouvez-vous me dire si mes autres résultats sont corrects ?

Merci d'avance pour votre aide.

Réponse : Suite numérique de emad2015, postée le 16-04-2017 à 20:44:14 (S | E)
Bonjour.
Tu peux refaire tes calculs car la raison 1.5 n'est pas correct par contre le premier terme est bien trouvé.
Pour le calcul de Sn essaye d'exploiter les propriétés de la somme d'une suite géométrique.
Pour trouver Un en fonction de n, Sn est une somme télescopique de Un et vous voilà résoudre l'exercice.

Réponse : Suite numérique de puente17, postée le 17-04-2017 à 11:54:44 (S | E)
Bonjour,

Il est essentiel dans ce genre d'exercice d'avoir les résultats numériques initiaux justes car ce sont eux souvent qui apportent des idées qu'il faudra ensuite justifier.
Il faudrait reprendre soigneusement les calculs. d'autre part l'utilisation des indices n'est pas maîtrisé, une suit numérique c'est une fonction de N dans R (ou C, ou ...) et donc vn peut aussi s'écrire v(n). vn c'est l'image de n par la fonction v.

pour prendre un bon départ :
V0 = 3
v1 = -1,5
v2 = 0,75
Avec ça on a tout ce qu'il faut pour avoir l'idée (il semblerait qu'on ait affaire à une suite géométrique de raison -1/2. Il faudra le démontrer)
ça c'est chouette car c'est facile à étudier puisque c'est du cours.

Remarque : Pour moi, Vn=1-2=-1
Vn+1=Un+2-Un+1=-0,5-1=-1,5
Ces 2 lignes n'ont pas de sens, car si vn = -1 (pour tout n donc) alors v est une fonction constante et donc v(n+1) = -1 aussi !!!!

Bon courage, il vaut mieux ne pas aller trop vite et tout contrôler c'est la meilleur façon pour être rapide

Réponse : Suite numérique de hedoris, postée le 17-04-2017 à 18:31:28 (S | E)
Merci beaucoup pour votre réponse.
Effectivement, j'ai voulu aller trop vite.

V0=U1-U0=1+2=3
V1=U2-U1=-0.5-1=-1,5

Donc, Vn+1/Vn=-1,5/3=-0,5

La raison est donc de -0,5 et le premeir terme est 3, ce qui me donne :
Vn=3*(-0,5)^n.

Par contre, je ne comprends toujours pas 4)Soit Sn= V0+V1+V2+...+Vn-1. Exprimer Sn en fonction de n. En déduire l'expression de Un en fonction de n.
Je bloque surtout avec Vn-1.

Merci d'avance pour votre aide.

Réponse : Suite numérique de puente17, postée le 18-04-2017 à 14:15:00 (S | E)
Bonjour,
Que la raison soit -1/2 c'est vrai mais ça doit être démontré par des calculs d'ordre généraux et pas sur de simples cas particuliers sinon ça n'a aucune valeur.

Vous devrez donc démontrer que pour toute valeur de n on a : v(n+1) = - 1/2 v(n). C'est déjà bien d'avoir l'idée mais il faudra prouver qu'elle est vraie.
Je vous fais le début:
v(n+1) = u(n+2) -u(n+1) = 0,5 (u(n+1)+u(n)) - u(n+1) =... =-0,5 (u(n+1) -u(n)) = -0,5 v(n) à vous de trouver les "..."
corrigez déjà ça, essayez de comprendre où sont vos erreurs, il est inutile d'aller trop vite, avancer sans savoir où l'on va c'est la meilleur façon de se perdre.

Réponse : Suite numérique de hedoris, postée le 20-04-2017 à 19:34:33 (S | E)
Je suis désolé mais je ne comprends pas votre calcul.

Tout ce que j'ai pu faire, c'est :
Vn+1=3*(-0.5)^n+1 et Vn=3*(-0,5)^n

Donc Vn+1/Vn= 3*(-0.5)^n+1/3*(-0,5)^n= 3*(-0,5)*(-0.5)/3*(-0,5)=(-0.5) J'ai tout simplement simplifié.

Je ne sais pas du tout si c'est ce que vous vouliez me dire.

Réponse : Suite numérique de puente17, postée le 20-04-2017 à 20:36:13 (S | E)
Bonjour,

Une erreur de logique très grave, vous partez du fait que la suite vn est géométrique, ce qu'il faut montrer, pour aboutir au calcul de sa raison que vous imposez dans votre définition de vn.
Reprenez tranquillement ma démonstration, toute la difficulté de l'exercice s'y trouve et vous ne pourrez pas faire l'économie d'un gros effort personnel. Si vous aboutissez, quelques soient les efforts fournis, vous n'aurez pas perdu votre temps.
Bon courage

Réponse : Suite numérique de hedoris, postée le 24-04-2017 à 18:37:49 (S | E)
Tout d'abord, désolé de ne répondre que maintenant, j'ai eu des problèmes de connexion.

Je suis désolé mais je ne comprends pas votre calcul :

v(n+1) = u(n+2) -u(n+1) --- jusque là d'accord

v(n+1) = 0,5 (u(n+1)+u(n)) - u(n+1) --- là, je ne comprends plus du tout votre calcul, pouvez-vous me l'expliquez ?

Et pour la question 4, pouvez-vous me dire comment je dois faire pour calculer une somme avec Vn-1 ? Merci d'avance.

Réponse : Suite numérique de puente17, postée le 25-04-2017 à 11:58:06 (S | E)
Bonjour,

v(n+1) = 0,5 (u(n+1)+u(n)) - u(n+1) --- là, je ne comprends plus du tout votre calcul, pouvez-vous me l'expliquez ?

Regardez bien dans votre texte la définition de u(n+2) je n'ai fait que la recopier.
Ensuite il vous suffira de développer les calculs afin d'arriver à la conclusion (que j'ai mis).

Réponse : Suite numérique de hedoris, postée le 27-04-2017 à 18:11:17 (S | E)
Autant pour moi, j'ai lu trop rapidement.
Mais pour après :
v(n+1) = 0,5u(n+1)+ 0,5u(n)- u(n+1)?

Faut-il remplacer un par sa valeur dans la suite ? Sinon, je tombe sur -0,5u(n+1)+ 0,5u(n), ce qui est différent de votre calcul ?

Je suis désolé de me répéter mais pour la question 4, pouvez-vous me dire comment je dois faire pour calculer une somme avec Vn-1 ?

Merci d'avance.

Réponse : Suite numérique de puente17, postée le 29-04-2017 à 16:35:30 (S | E)
Bonjour,

Sinon, je tombe sur -0,5u(n+1)+ 0,5u(n), ce qui est différent de votre calcul ?
Ah bon!!!
-0,5u(n+1)+ 0,5u(n) = -0,5 (u(n+1) - u(n)) = -0,5 v(n)

Réponse : Suite numérique de hedoris, postée le 29-04-2017 à 19:07:56 (S | E)
Décidément, cet exercice m'aura vraiment posé des problèmes.

Pouvez-vous m'aider à le terminer et donc à répondre à la question 4. Merci d'avance

Réponse : Suite numérique de puente17, postée le 01-05-2017 à 11:00:29 (S | E)
Bonjour,

Soit Sn= V0+V1+V2+...+Vn-1. Exprimer Sn en fonction de n.
C'est une simple question de cours : somme des termes d'une suite géométrique.

En déduire l'expression de Un en fonction de n.
Utiliser le résultat précédent et remplacer v0,v1,...v(n-1) par leur définition, il n'y a quasiment rien à faire, et c'est un peu normal puisqu'on vous dit : "en déduire".

Réponse : Suite numérique de hedoris, postée le 01-05-2017 à 17:11:37 (S | E)
Tout d'abord merci de continuer à me répondre.
Je connais la formule de la somme des termes d'une suite géométrique : u0*(1-q^n/1-q).
Ici, V0=3 mais je ne connais ni la raison ni le nombre de termes. Dans chacun des exemples de mon cours, je les ai et je connais le dernier terme.
Ici c'est Vn-1 et je ne sais pas comment calculer avec cette valeur.

Merci d'avance pour votre aide.

Réponse : Suite numérique de puente17, postée le 01-05-2017 à 18:16:42 (S | E)
Bonjour,

Ce qui vous gêne c'est que vous n'avez pas encore bien passé le cap entre les chiffres et les lettres.

S(4) = v0 + v1 + v2 + v3 = (u1 - u0) + ... + (u4 - u3) = -u0 + u4 (écrivez bien tout ) on en déduit que u4 = S(4) + u0. Il n'y a plus qu'à utiliser ce qui précède.
ça ce n'est qu'un exemple mais ça permet de bien comprendre comment ça fonctionne. Une fois compris on voit bien que ça peut se faire avec n'importe quelle valeur.
S(n) = v0 +... + v(n-1) Je vous laisse poursuivre.

Réponse : Suite numérique de hedoris, postée le 01-05-2017 à 18:37:16 (S | E)
Je suis désolé mais c'es vraiment complexe pour moi.
J'ai très bien compris votre exemple.
J'ai essayé avec mon exo et je trouve S(n)=-U0+Un. On en déduit que Un=Sn+U0.

Suis-je très loin du compte ? Merci d'avance.

Réponse : Suite numérique de puente17, postée le 02-05-2017 à 10:52:49 (S | E)
bonjour,

???? Ben, c'est terminé puisque l'on a déjà calculé Sn et u0 dans des questions antérieures !

Réponse : Suite numérique de hedoris, postée le 02-05-2017 à 15:12:24 (S | E)
Je ne comprends pas ; je croyais que c'était justement le but de l'exo de calculer Sn ? Je n'ai pas sa valeur en chiffre, comment puis-je calculer Un ?

Merci d'avance

Réponse : Suite numérique de puente17, postée le 03-05-2017 à 20:47:28 (S | E)
Bonjour,

Utiliser la formule qui donne la somme des n premiers termes d'une suite géométrique et remplacer dans la formule que vous avez donnée : Un=Sn+U0.

Réponse : Suite numérique de hedoris, postée le 04-05-2017 à 10:05:40 (S | E)
Bonjour,

Désolé mais j'ai l'impression de ne pas avancer. Pour la formule pour calculer la somme (que j'ai posté plus haut) il me faut la raison de la suite et le nombre de termes, et je n'ai aucun des deux.
Un=Sn+U0 pour moi ne sert qu'à calculer Un une fois que j'aurais calculé Sn.

Merci d'avance

Réponse : Suite numérique de puente17, postée le 05-05-2017 à 13:31:22 (S | E)
Bonjour,

On vous demande une formule, calculer un en fonction de n or vous connaissez u0 et vous avez une formule du cours qui vous permet de calculer Sn en fonction de n.
Sn = v0 + v1 + ...+ v(n-1) et vn est géométrique de raison -1/2 avec v0 = 3, que vous faut-il de plus pour calculer Sn?

Réponse : Suite numérique de hedoris, postée le 05-05-2017 à 18:40:48 (S | E)
Je suis vraiment désolé d'autant vous déranger.
Ce qui me dérange, et je fais un vrai blocage, c'est avec n-1. Comme je ne connais pas le nombre de termes, je suis perdu.

J'ai quand même essayé et voici ce que j'ai trouvé : Sn= 3*(1+(0,5)^n/1,5. Est-ce correct ?

Réponse : Suite numérique de puente17, postée le 06-05-2017 à 11:27:56 (S | E)
Bonjour,
Revoyez vos calculs, il y a des erreurs de signes car - ((-1/2)^n) n'est pas égal à (1/2)^n (vérifier-le sur quelques cas particuliers pour bien comprendre)

rappel : Sn = v0 + v1 + ... + v(n-1) de raison r . On a alors : Sn = v0 x ((1 - r^n)/(1 - r)) et n'oubliez pas que 3/1,5 = 2
Bon courage, le bout du tunnel n'est plus très loin.

Réponse : Suite numérique de hedoris, postée le 06-05-2017 à 17:14:05 (S | E)
Merci de vos encouragements mais j'ai quand même l'impression de me noyer avec ce problème.

J'ai essayé différemment : Sn=3-(1,5)^n/1,5=2-(-1)^n. Suis-je encore plus loin ?

Réponse : Suite numérique de puente17, postée le 07-05-2017 à 10:37:46 (S | E)
Bonjour,

utiliser Sn = v0 x ((1 - r^n)/(1 - r)) en remplaçant r par sa valeur -1/2. Reprenez la valeur de u0 = -2 et effectuez les calculs en y faisant très attention. Ce qui vous gêne ce n'est pas ce problème en particulier mais un mauvais contrôle des règles de calcul (vouloir aller trop vite dans les calculs peu faire perdre du temps)et bien évidement la réponse va dépendre de n.

Réponse : Suite numérique de hedoris, postée le 07-05-2017 à 14:44:25 (S | E)
C'est bien la formule que j'utilise.
Avec leurs valeurs dans l'exo, ça donne : 3(1-(-0,5)^n/1-(-0,5).
Vous m'avez dit que 1-(-0,5)^n, n'était pas égal à 0,5^n mais du coup je ne sais pas comment le calculer.
Et je ne vois pas pourquoi vous me parlez de U0 ? Je ne pense que qu'il soit utile pour calculer Sn, je me trompe ?

Merci d'avance

Réponse : Suite numérique de puente17, postée le 09-05-2017 à 13:03:08 (S | E)
Bonjour,
voir votre post du 01/05 à 18h 37 :
un = Sn + u0.

Vous m'avez dit que 1-(-0,5)^n, n'était pas égal à 0,5^n mais du coup je ne sais pas comment le calculer.

Qu'entendez vous par calculer? la réponse dépend de n bien sûr (impossible ici de ce débarasser du 'n'. Il vous reste à simplifier au mieux en utilisant les règles de l'algèbre.

Réponse : Suite numérique de hedoris, postée le 09-05-2017 à 18:36:32 (S | E)
Oui, c'était ce que je voulais dire.
Et au début de votre message, c'est, pour moi, la formule pour trouver Un ; mais ça ne me sert pas à trouver Sn qui pour moi est égal à 3(1-(-0,5)^n/1-(-0,5). (mais après je ne sais pas simplifier puisque je ne vois à quoi 1-(-0,5)^n est égal si ce n'est pas 0,5^n.

Réponse : Suite numérique de puente17, postée le 09-05-2017 à 20:51:49 (S | E)
bonjour,

1-(-0,5) = 1,5 et 3 /1,5 = 2 pour le reste il est difficile d'aller beaucoup plus loin.

Attention, si vous ne voyez pas pourquoi -(-0,5)^n est différent de 0,5^n il vous faudra revoir très sérieusement les puissances et la règle des signes.
par exemple-(-0,5)²= -0,25 et 0,5²= 0,25 et c'est bien différent, n'est-ce pas?

Réponse : Suite numérique de hedoris, postée le 10-05-2017 à 10:44:43 (S | E)
Je comprends pourquoi les deux ne sont pas égaux, seulement je ne sais pas à quoi il est vraiment égal.
Par rapport à votre dernier message, Sn est égal à 2 ?
Merci d'avance.

Réponse : Suite numérique de hedoris, postée le 12-05-2017 à 09:37:44 (S | E)
Bonjour,

Désolé de vous déranger de nouveau mais je dois rendre ce devoir lundi prochain et j'aimerais bien avoir résolu ce problème d'ici là.
Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

Merci d'avance.

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