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Message de chloe8 posté le 03-02-2018 à 11:58:34 (S | E | F)
Bonjour,
Je suis en train de réviser mon évaluation de maths sur les nombres premiers et je bloque sur un problème:
La caisse que Thomas doit livrer a la forme d'un parallélépipède rectangle. Ses arêtes mesurent un nombre entier de centimètres. Les faces ont pour aire 2700 cm², 4050 cm², 5400 cm².

Décomposer en produits de facteurs premiers les nombres 2700, 4050 et 5400
En déduire la longueur des côtés de la caisse et son volume.
Voilà où j'en suis;
2700= 2x2x3x3x5x5
4050= 2x3x3x3x3x5x5
5400= 2x2x2x3x3x3x5x5

Mais, je n'arrive pas à la seconde partie. Pouvez vous m'aider s'il vous plait?
Merci d'avance

Réponse : Nombre premier de michel1969, postée le 03-02-2018 à 13:56:31 (S | E)
Tu dessines un parallélépipède rectangle et tu appelles chacune des 3 dimensions (chacune des 3 arêtes de dimensions différentes ) qui forment ce parallélépipède a, b, et c .
Tu calcules chacune des 3 aires différentes en faisant à chaque fois le produit de 2 arêtes , ce qui te donne 3 valeurs en lettres qui équivalent aux 3 valeurs en chiffres de l'énoncé .
Tu te retrouves avec 3 équations avec 3 inconnues à résoudre .
Puis tu va arriver à une lettre au carré à laquelle tu feras correspondre une des égalités que tu as décomposée en nombres premiers ce qui te permettra de trouver la valeur de la racine carrée

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Modifié par michel1969 le 03-02-2018 13:57

Réponse : Nombre premier de puente17, postée le 03-02-2018 à 14:10:45 (S | E)
Bonjour,

il faudrait refaire la décomposition de 2700 car il manque un facteur.

Posons l, h, L les dimension de la caisse avec:
l = 2^a x3^b x 5^c
h = 2^a1 x 3^b1 x 5^c1
L = 2^a2 x 3^b2 x 5^c1

Tu n'as plus qu'à utiliser tes premiers résultats pour obtenir en prenant par exemple : 2700 = Ll; 4050 = lh et 5400 = hL
a+a2 = 2
b+b2 = 3
c+c2 = 2 à cause de 2700 = 2^2 x 3^3 x 5^2 (là tu as la correction de ton erreur)

a+a1 = 1
b+b1 = 4
c+c1 = 2 à cause de 4050 = ...

Après on commence par les 'a' et on obtient:
a+a2 = 2 → a2 = 2 - a et on remplace a2 dans la 3ième ligne
a+a1 = 1
a +a2 = 3

il ne reste plus qu'à résoudre: a+a1 = 1 et a+(2-a) = 3 d'où a =0; a1 = 1; a2 = 2 (prends le temps de vérifier)
Il faudra faire la même chose pour les 'b' et les 'c'
et là encore, à la fin, il faudra tout vérifier
Ce n'est pas difficile mais à ton âge ça me parait un peu long. contrôle bien chaque étape des calculs pour ne pas avoir à recommencer plusieurs fois.

Sauf erreur tu devrais obtenir: l = 45; h = 90 et L = 60 (sans démonstration de ta part ces résultats n'ont aucune valeur

Réponse : Nombre premier de michel1969, postée le 03-02-2018 à 15:04:04 (S | E)
Puente17
Bonjour
J'appelle cette démonstration faire quasiment le problème et non mettre Chloe sur une piste !

Réponse : Nombre premier de chloe8, postée le 03-02-2018 à 19:29:10 (S | E)
Merci pour vos réponses!
Je vais réessayer de le faire et vous tient au courant!

Réponse : Nombre premier de traviskidd, postée le 04-02-2018 à 02:51:25 (S | E)
Bonjour. Pourquoi faudrait-il décomposer les aires en nombres premiers? Pourquoi pas procéder comme ça:
Soient a, b, et c les longueurs avec a < b < c, donc ab < ac < bc. ab = 2700, ac = 4050, donc b/c = 2700/4050. bc=5400, donc b^2=bc(b/c)=.... (Un œil préscient constatera que les trois aires sont 2700 x {1, 1,5, 2} respectivement, ce qui simplifie les calculs un peu.)
See you.

Réponse : Nombre premier de puente17, postée le 04-02-2018 à 13:43:17 (S | E)
Bonjour à tous,

Oui bien sûr c'est une très bonne idée, mais on nous demandait de déduire la réponse de la décomposition en facteurs premiers, ce qui a tendance à restreindre le champs des recherches mais permet de résoudre le problème sans l'intervention de la notion de racine carrée sur les réels en général, qui ne fait peut-être pas partie du programme de la classe.
Bon en reprenant l'idée de traviskidd et en gardant l'idée de la décomposition on peut poursuivre ainsi :
ac = 4050 et bc = 5400 donc b = (4/3) a / donc b xa = 4/3 a² = 2700 donc a² =(3^4)x 5² donc a = 3²x5

Réponse : Nombre premier de wab51, postée le 05-02-2018 à 22:07:26 (S | E)
Bonsoir

Réponse : Nombre premier de wab51, postée le 05-02-2018 à 23:50:20 (S | E)
Bonsoir à tous
Je n'ai rien contre les méthodes précédentes et trouve que celle de puente répond parfaitement à l'encadrement de la question posée en tenant d'un raisonnement de déduction tel qu'il est demandé .Sauf ,et comme il l'avait déjà bien signalé que cela pourrait peut-être dépassé le programme tracé du niveau de la classe de l'élève . Avec votre permission ,et tout en ayant porter la recherche nécessaire en tenant compte de ses dites contraintes ,il est bien possible de répondre facilement à la question sans difficultés et sans dépassement des capacités assignées .
Comment déduit-on donc les longueurs des cotés de la caisse ? ( voir figure complète ci-dessus)
a)Décomposition en facteurs premiers :
2700 = L*l = 2^2*3^3*5^2 ; 4050 = l*h=2*3^4*5^2 ; 5400 = L*h = 2^3*3^3*5^2
b) Méthode par déduction
Voir d'abord que l'aire L*h = 2^3*3^3*5^2 représente bien le double de l'aire L*l = 2^2*3^3*5^2 : L*h = 2^3*3^3*5^2 = 2* 2^2*3^3*5^2 = 2*L*l ,ce qui permet d'écrire que L*h = 2*L*l soit donc h = 2*l .Il suffit maintenant de remplacer cette valeur de h dans l*h=2*3^4*5^2 et on obtient l*2*l = 2*3^4*5^2 soit l² = 3^4*5^2 = (3²)² * 5² =(3²*5)² = 45² ,d'où l = 45 cm .
Restons toujours dans le raisonnement déductif ,on obtient facilement les deux autres longueurs h? et L?
En effet , ayant déduit précédemment h = 2*l = 2*45 = 90 cm .Et de même la longueur L se déduit de L*l = 2^2*3^3*5^2 sachant que l=45=3²*5 et après simplification par l=3²*5 ,on obtient aisément L = 2²*3*5 = 60 cm . Bien cordialement et Merci .

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