Démonstration racine de 3 irrationnel

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Démonstration racine de 3 irrationnel
Message de perfect posté le 14-10-2019 à 18:18:13 (S | E | F)
Bonjour à tous,

Je ne comprends pas la démonstration de √3, sur le fait qu'il soit irrationnel, nous avions étudiés précédemment pour √2, et j'ai compris mais là, je suis bloqué, voici :
On raisonne par l'absurde :
Supposons que √3 est rationnel
Alors √3 peut s'écrire sous la forme p/q irréductible

√3=p/q
3= p²/q²
3q²=p²
p²= (3k)²
donc p= 3k là j'ai compris que 3 divise p
Jusque ici tous est ok

Mais là vient mon soucis, je m'explique :
On sait donc que p²=3q²
(3k)²= 3q²
9k²=3q²
q²=3k²
Et là je ne comprends pas pourquoi 3 divise q, (j'ai compris que 3 divisait q²) mais normalement on ne peut pas avoir q=3k puisqu'il n'y a pas de parenthèses(si ?) donc je bug.
Merci d'avance pour toute l'aide apportée,
Cordialement,
perfect

Réponse : Démonstration racine de 3 irrationnel de wab51, postée le 14-10-2019 à 19:44:31 (S | E)
Bonjour

Supposons que √3 est rationnel
Alors √3 peut s'écrire sous la forme p/q irréductible

√3=p/q
3= p²/q²
3q²=p² (donc p² serait multiple de 3 et donc p aussi d'après le résultat préliminaire que vous aviez oublié d'énoncer :"si p² est un multiple de 3 alors p l'est aussi".et par conséquent p s'écrirait p=3k
p²= (3k)² (soit encore p²=9k²)
<s>donc p= 3k là j'ai compris que 3 divise p
</s>Jusque ici tous est ok

Mais là vient mon soucis, je m'explique :
On sait donc que p²=3q²
(3k)²= 3q²
9k²=3q²
q²=3k² après simplification des deux membres de l'égalité par 3
Et là je ne comprends pas pourquoi 3 divise q, (j'ai compris que 3 divisait q²) mais normalement on ne peut pas avoir q=3k puisqu'il n'y a pas de parenthèses(si ?) donc je bug Explication:d'après le lemme cité précédemment,q² est multiple de 3 alors q l'est aussi et c'est ce qui est contradictoire avec l'hypothèse de départ ,la fraction ne serait pas irréductible puisqu'on diviser par 3 car pgcd(p,q)=3 et non pas 1

Réponse : Démonstration racine de 3 irrationnel de perfect, postée le 14-10-2019 à 20:58:17 (S | E)
Bonsoir,

Merci pour votre aide.
Cependant, là où est le problème, que vous ciblez par ailleurs, c'est que je ne comprends pas le lemme pour q²=3k².
Pour donc p² serait multiple de 3 et donc p aussi et par conséquent <b>p s'écrirait p=3k</b> Oui d'accord, j'ai bien compris puisqu'à la fin j'ai bien p=3k par simplification
Or (problème)je ne peux pas simplifier pour faire q = 3k et du fait, il faut me fier au lemme, ce que j'arrive point, d'ailleurs pouvez vous donc me démontre le lemme (peut-être pour q=3k) ?

Merci d'avance,
Perfect

Réponse : Démonstration racine de 3 irrationnel de wab51, postée le 14-10-2019 à 23:46:55 (S | E)
Effectivement,c'est une très bonne question .
q²=3k² donc 3 divise q².Est-ce 3 divise t-il donc aussi q?
Démonstration du lemme:
q ne peut s'écrire que sous l'une des trois formes suivantes :
a) q=3k donc q²=9k²=3(3k²) hypothèse vérifiée)
b) q=3k+1 donc q²=(3k+1)²=3(3k²+2k)+1 (hypothèse non vérifiée)-contradiction
c) q=3k+2 donc q²=(3k+2)²=3((3k²4k+1)+1 (hypothèse non vérifiée-contradiction)
conclusion: Seul le résultat du cas de la première hypothèse a) convient .Autrement dit :Si 3 divise q² alors 3 divise aussi q .
J'espère avoir répondu à votre question.Bonne chance et merci à vous .

Réponse : Démonstration racine de 3 irrationnel de perfect, postée le 16-10-2019 à 15:35:03 (S | E)
Bonjour,

Merci pour votre aide, je vois la lumière au bout du tunnel
Nous pouvons seulement avoir q=3k ou q=3k+1 ou q=3q+2 du fait de la division, il ne peut y'avoir qu'un de ces 3 restes (+0,+1 ou +2), n'est-ce pas ?
Je comprends le raisonnement, seulement pourquoi les des hypothèses ne sont-elles pas vérifiées, quelle est la contradiction ? Je n'arrive pas à la cerner.

Merci d'avance,
perfect

Réponse : Démonstration racine de 3 irrationnel de wab51, postée le 17-10-2019 à 12:44:52 (S | E)
Nous pouvons seulement avoir q=3k ou q=3k+1 ou q=3q+2 du fait de la division, il ne peut y'avoir qu'un de ces 3 restes (+0,+1 ou +2), n'est-ce pas ?
Oui-parfaitement.Une division euclidienne par 3 ne peut avoir comme reste que 0 ou 1 ou 2 .C'est pourquoi q ne peut s'écrire que sous ses trois formes q=3k ou q=3k+1 ou q=3k+2 qu'on avait déjà étudié où l'on constate que dans le seul cas où q² n'est multiple de 3 que lorsque q l'est aussi .Et c'est bien le résultat que nous avons cherché à démontrer qui est énoncé comme lemme :"si q² est multiple de 3 (ou si 3 divise q²) alors q est aussi multiple de 3(ou 3 divise aussi q) .

Je comprends le raisonnement, seulement pourquoi les des hypothèses ne sont-elles pas vérifiées, quelle est la contradiction ? Je n'arrive pas à la cerner.
Je me suis mal exprimé ,peut-être ,excuse.Je voulais faire entendre que seul le cas q=3k conviendrait et répondrait à la question et par conséquent n'en pas en tenir compte.
Je vous remercie.

Réponse : Démonstration racine de 3 irrationnel de pirouette, postée le 17-10-2019 à 16:57:40 (S | E)
Bonjour,
3 divise q², est-ce que 3 divise aussi q ?
J'ai trouvé un truc, rationnel j'espère, pour voir la divisibilité sans la démonstration par a+b de wab51... et c).
On prend un nombre entier et son carré. Comparons les décompositions en produits de facteurs premiers. Les puissances sont différentes. Les nombres premiers utilisés sont les mêmes, logique puisque "les ingrédients" sont identiques dans la fabrication du carré.
q² est divisible par 3, on sait que 3, nombre premier, est présent dans la décomposition de q². Or q et q² s'écrivent avec les mêmes nombres premiers. Je trouve alors le 3 dans la décomposition de q et la divisibilité par 3 est là.

Réponse : Démonstration racine de 3 irrationnel de wab51, postée le 19-10-2019 à 19:00:05 (S | E)
Bonsoir
Bien.En plus des deux précédentes méthodes (par division euclidienne et par décomposition en facteurs premiers) peut-être joindre l'utile à l'agréable avec cette 3ème méthode basée sur le principe de raisonnement par contraposition ( A → B ) ↔ (non B → non A) ,donc pour démontrer l'assertion (A → B) , on montre en fait que "si non B est vraie alors non A est vraie ".
Ceci dit ,montrer que (3 divise q² → 3 divise q) revient en fait à montrer que (q n'est pas divisible par 3) → (q² n'est pas divisible par 3) .
Démonstration
Supposons donc que q n'est pas divisible par 3 ce qui conduit que le reste de la division de q par 3 est soit 1 ou soit 2 et en utilisant congruence modulo ,cela se traduit par l'écriture : q ≡ 1 [3] ou q ≡ 2 [3]
a) q ≡ 1 [3] et d'après la propriété des congruences q² ≡ 1² [3],or 1² = 1 et en remplaçant q² ≡ 1 [3]
b) q ≡ 2 [3] et d'après la même propriétés des congruences q² ≡ 2² [3] ,or 2²=4 et 4≡1 [3] d'où par transitivité q² ≡ 1 [3]
donc d'après a) et b) le reste de la division de q² par 3 est 1 donc q² n'est pas divisible par 3 .
En conclusion :nous avons montré que "si q n'est pas divisible par 3 alors q² n'est pas divisible par 3".Par contraposition ceci est équivalent aussi simplement à dire "si 3 divise q² alors 3 divise q" .
Merci et agréable soirée

Réponse : Démonstration racine de 3 irrationnel de perfect, postée le 20-10-2019 à 15:53:17 (S | E)
Bonjour,

Merci à vous deux.
J'ai très bien compris la méthode de pirouette, merci. Cependant, je pense que celle, à réellement comprendre pour le futur est celle de wab, or j'ai encore du mal à bien l'assimiler.
Après de nombreuses relectures de votre post, je comprends le lemme, cependant dans le lemme, nous évoquons que si q=3k donc q²=9k², or dans la démonstration que nous avons écrite, nous arrivons à q²=3k² et non pas q²=9k². C'est précisément ceci que je ne comprends pas.

Merci d'avance pour toutes vos réponses,
Perfect

Réponse : Démonstration racine de 3 irrationnel de wab51, postée le 21-10-2019 à 10:20:30 (S | E)
Peu importe les différentes démonstrations .L'essentiel est que vous ayez très bien compris le lemme en question qui je rappelle constitue la règle préliminaire utile pour faire la démonstration du véritable problème posé (montrer que V3 est irrationnel) .Ceci dit ,la situation pour vous est donc à présent débloquée et par conséquent nous présenter votre démonstration complète à ce sujet pour ne serait ce nous assurer que vous aviez compris.
Bon courage

Réponse : Démonstration racine de 3 irrationnel de perfect, postée le 21-10-2019 à 17:38:36 (S | E)
Bonjour,

C'est d'accord, puisque j'ai compris le lemme, il n'y a pas à aller plus loin (même si je voulais une réponse ).
Voici la démonstration :
On raisonne par l'absurde
Supposons que √3 rationnel
Alors √3 peut s'écrire sous la forme d'une fraction irréductible p/q
√3= p/q
3=p²/q²
On a p²=3q²
D'après le lemme si p² est multiple de 3 alors p est aussi multiple de 3, on a alors p=3k
Démonstration :
On a soit p=3k donc p²=9k²=3(3k²)
Soit p=3k+1 donc p²=(3k+1)²=(3k)²+6k+1= 9k²+6k+1= 3(3k²+2k)+1 Ici p² n'est pas multiple de 3 or p²=3q²
soit p=3k+2 donc p²=(3k+2)²=(3k)²+12k+4=9k²+12k+4=3(3k²+4k+1)+1 Ici p² n'est pas multiple de 3 non plus or p²=3q²
Donc, on a bien p=3k
(3k)²=3q²
9k²=3q²
3k²=q² D'après le même lemme si q² est multiple de 3 alors q l'est aussi
On a q multiple de 3 et p multiple de 3
ABSURDE puisque qu'on a dit que p/q est irréductible !
√3 est donc irrationnel

Voili, voiloù !
Est-ce correct ?

Merci d'avance,
perfect

Réponse : Démonstration racine de 3 irrationnel de wab51, postée le 21-10-2019 à 20:05:47 (S | E)
Bonjour
Correction en bleu.et signe <s> ...</s> exprime "expression barrée ou inutile .
On raisonne par l'absurde
Supposons que √3 rationnel
Alors √3 peut s'écrire sous la forme d'une fraction irréductible p/q (où p et q entiers premiers entre eux)
√3= p/q (0K)
3=p²/q² (0K)
On a p²=3q² donc p² est multiple de 3 )
D'après le lemme si p² est multiple de 3 alors p est aussi multiple de 3.Et par application de ce lemme on a alors p=3k
En voici donc laDémonstration de ce lemme préliminaire en utilisant la méthode "division euclidienne":
On suppose pour hypothèse de départ que p multiple de 3 ,soit p=3k ,ou encore que 3 divise p.Or,on sait que la division euclidienne d'un entier par 3 n'a pour pour reste que 0 ou 1 ou 2 .Faisons étude par disjonction cas par cas:
On a
a) 1er cas :soit p=3k donc p²=9k²=3(3k²)=3L ,en posant L=3k² et puisque 3k² est entier alors L est entier,d'où le résultat de ce 1er cas:p² et p sont multiples de 3)
b) 2ème cas :Soit p=3k+1 donc p²=(3k+1)²=(3k)²+6k+1= 9k²+6k+1= 3(3k²+2k)+1(=3M,en posant M=3k²+2k puisque (3k²+2k) est entier,d'où le résultat de ce 2ème cas:Ici p² et p<s>n'est pas</s> (ne sont pas) multiple(s) de 3 <s>or p²=3q²</s>
c)3ème cas:soit p=3k+2 donc p²=(3k+2)²=(3k)²+12k+4=9k²+12k+4=3(3k²+4k+1)+1=3N,en posant N=3k²+4k+1 et puisque (3k²+4k+1) est entier alors N est entier,d'où le résultat de ce 3ème cas: Ici p² et p<s>n'est</s>ne sont pas multiple de 3 <s>non plus or p²=3q²</s>
Conclusion générale :Seul le 1er cas répond à l'hypothèse de départ où si p² est multiple de 3 alors p l'est aussi<s>Donc,on a bien p=3k</s> .
Je vous ai fait la correction de la première partie.La correction de la deuxième partie "montrer que q=3k?va suivre dans un instant.Merci

Réponse : Démonstration racine de 3 irrationnel de wab51, postée le 21-10-2019 à 20:49:05 (S | E)
Correction de la deuxième partie
On sait que p²=3q² avec p=3k (d'après le résultat de la première partie
<s>Donc, on a bien p=3k</s> et en remplaçant p,on a
(3k)²=3q²
9k²=3q²
et après simplification des deux membres par 3:3k²=q² (q² est donc multiple de 3 etD'après le même lemme si q² est multiple de 3 alors q l'est aussi
On a q multiple de 3 et p multiple de 3 donc la fraction p/q peut etre simplifiée par pgcd(p,q)=3
ABSURDE puisque qu'on a dit que p/q est irréductible !
√3 est donc irrationnel
Voilà ,j'espère qu'avec cette correction détaillée,vous aidera à comprendre.
Si vous le permettez,"puisque vous aviez confirmer auparavant que le raisonnement par la méthode de décomposition en facteurs premiers vous semblait très bien compris pour démontrer le lemme en question,franchement un peu surpris parce que vous ne l'aviez pas fait.Agréable soirée

Réponse : Démonstration racine de 3 irrationnel de perfect, postée le 21-10-2019 à 22:51:20 (S | E)
Bonsoir,

Merci énormément pour cette correction détaillée.

Un point seulement à reprendre vous dites : "b) 2ème cas :Soit p=3k+1 donc p²=(3k+1)²=(3k)²+6k+1= 9k²+6k+1= 3(3k²+2k)+1(=3M,en posant M=3k²+2k puisque (3k²+2k) est entier,d'où le résultat de ce 2ème cas: Ici p² et p<s>n'est pas</s> (ne sont pas) multiple(s) de 3".
C'est normalement égal à 3M+1, en posant M=3k²+2k puisque (3k²+2k) est entier.
Le "+1" servirait à montrer que dans ce cas, p² n'est pas multiple de 3.
Pareillement pour l'hypothèse avec p=3k+2.

En effet, mais je voulais au bout de la compréhension de ce lemme et grâce à vos explications claires et concises, je pense y être arriver. Je préfère n'être en désaccord avec aucune d'entre eux (les lemmes), puisque chaque professeur en utilisera un différent. D'autant plus que je ne saurai démontrer le raisonnement par décomposition en facteurs premiers.Auriez vous un lien quelconque qui détaille cette méthode par "décomposition de facteurs premiers" ? Je ne saurai vous demander de me l'expliquer, je comprends tout à fait que vous n’ayez pas le temps.

Excellente soirée,
perfect

Réponse : Démonstration racine de 3 irrationnel de wab51, postée le 21-10-2019 à 23:21:10 (S | E)
C'est moi qui vous remercie infiniment .Je suis vraiment très content de vous .Je ne sens que le plaisir de vous féliciter profondément..

Effectivement ,vous aviez parfaitement raison .C'est une petite étourderie commise "par oubli d'ajouter le 1 aux deux derniers cas ".donc p²=2M+1 pour le 2ème cas et p²=2N+1

Avec plaisir,la démonstration du lemme par la méthode de décomposition en facteurs premiers par la suite.

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Modifié par wab51 le 22-10-2019 06:46

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Modifié par wab51 le 22-10-2019 06:51

Réponse : Démonstration racine de 3 irrationnel de wab51, postée le 22-10-2019 à 16:50:30 (S | E)
Bonjour
En fait bon à savoir que le résultat "si le carré d'un entier p est multiple du nombre premier 3 alors le nombre p est aussi multiple de 3" n'est qu'une sorte de déduction d'un cas général valable pour tout autre nombre premier autre que 3 et par conséquent cela deviendrait beaucoup plus intéressant de le démontrer pour le besoin dans d'autres applications .
Démontrer le lemme suivant: "si le carré d'un entier(p²) est multiple d'un nombre premier alors l'entier p est aussi multiple de ce nombre premier".
en appliquant la méthode par la décomposition en produit de facteurs premiers.
Démonstration:
Soit p un entier naturel et son carré p².Sachant que tout entier peut s'écrire sous forme de produit de facteurs premiers alors p peut s'écrire :
p=n1*n2*n3*.....*ni (n1,n2,n3,...,ni désignent des nombres premiers comme 2,29,3,11,...ou encore avec exposant de puissance comme 2^3=2*2*2...)
p²=(n1*n2*n3*.....*ni)(n1*n2*n3*.....*ni)=n1*n1*n2*n2*n3*n3*.....ni*ni (car produit commutatif).
On sait par hypothèse que p² est multiple d'un nombre premier donné N donc ce nombre premier N se trouve obligatoirement parmi les nombres premiers qui constituent les facteurs premiers de la décomposition de p² et par conséquent ne peut être aussi que l'un de ses facteurs premiers n1 ou n2 ou n3 ou ...ou ni,disons par exemple que ce nombre premier donné N est le facteur premier n3 donc N=n3.Or,on constate que l'on retrouve ce facteur premier n3 dans la décomposition de p ce qui veut simplement dire que p est multiple de n3 donc de N .
Conclusion :Si le carré d'un entier (p²) est multiple d'un nombre premier N alors l'entier p est aussi multiple de N.Merci et bonne après-midi.

Réponse : Démonstration racine de 3 irrationnel de perfect, postée le 25-10-2019 à 21:31:12 (S | E)
Bonsoir,

Je comprends tout à fait ce lemme, je vous en remercie ! En effet, le fait est que le lemmes appris a besoin d'être utilisé dans divers cas d'application, avec cette démonstration, on y parvient tout à fait

Cordialement,
perfect

Réponse : Démonstration racine de 3 irrationnel de wab51, postée le 25-10-2019 à 22:05:04 (S | E)
Bonsoir
Plaisir partagé. et .

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