Utilisation du théorème du produit nul ?

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Utilisation du théorème du produit nul ?
Message de shargar posté le 10-11-2019 à 13:12:02 (S | E | F)
Bonjour,

Voici l'ennoncé :

ABCD est un carré de côté 8 mètres. Quelle valeur faut-il donner à x pour que la surface du carré EFGGH (dessiné par les quatres sommets situés à x des sommets de ABCD sur AB, BC, CD ET ET DA ) soit égale à 32 m carré.

Je suis parti sur

Aire (ABCD) - 4fois aire(HDE) = 32 car aire (HDE) = aire (FCE) = aire (EDH) = aire (HAG)
64 - 4 fois ((base * hauteur)/2)=32
64 - 4*(x*(8-x)/2 = 32
64 - 2*(X*(8-X) = 32

et là c'est le drame. Je me retrouve avec une equation du second degré à une inconnue. Je sais la résoudre que si je trouve une identité remarquable (pour faire une equation produit) ou factoriser. Et là je ne vois aucun de ces deux cas de figure...

merci

Réponse : Utilisation du théorème du produit nul ? de puente17, postée le 10-11-2019 à 16:06:14 (S | E)
Bonjour,
On peut continuer avec votre réponse: 64 - 2*(X*(8-X) = 32

ou considérer plus simplement qu'il suffit que les 4 petits rectangles que l'on 'enlève' mesurent ensemble 32m².
De toute façon on arrive à la même chose en simplifiant: x²-8x+8 = 0
et si on ne dispose que des identités remarquables on peut continuer en remarquant que l'on a aussi: (x² -8x +16) -8 = 0
et donc (x²-8x +16) - (2V2)² = 0
je vous laisse vérifier et poursuivre.

Réponse : Utilisation du théorème du produit nul ? de shargar, postée le 10-11-2019 à 16:28:08 (S | E)
Bonjour et merci d'avoir pris le temps pour me répondre.

J'ai poursuivi avec
64-2(x(8-x))-32=0
j'arrive à 2x^2 - 16x - 32 =0
je divise tout par deux ( j'ai le droit dans une égalité ? )
j'obtiens x² - 8x - 16 = 0
je remarque mon identité remarquable a^2 - 2ab + b^2

= (X-4)^2=0 d'où x=4

C'est propre non ? Merci pour votre aide précieuse.

Réponse : Utilisation du théorème du produit nul ? de wab51, postée le 10-11-2019 à 21:41:16 (S | E)
Bonsoir à tous
Une proposition parmi d'autres:Connaissant l'aire du carré EFGH 32 m².Chercher à exprimer la longueur du coté de ce carré L en fonction de x.
Sachant que chaque sommet du carré EFGH est situé de part et d'autre et à égal distance x de deux sommets du carré ABCD ,il en résulte que chacun des quatre cotés du carré EFGH n'est autre que l'hypoténuse de l'un des quatre triangles rectangles isocèles dont l'angle droit est l'un des sommets du carré ABCD
En appliquant le théorème de Pythagore L²=x²+x² soit L²=2.x² .Sachant aussi que l'aire du carré EFGH est L²=32 ↔ 2.x²=32 ↔ x²=16 ↔ x²-16=0
↔ x² - 4² = 0 ↔ (x-4)(x+4)=0 d'ou x=4 ou x=-4 (étant donné qu'une longueur est toujours positive ,on prendra donc la solution positive x = 4 m .(on peut encore trouver d'autres méthodes).Merci à tous

Réponse : Utilisation du théorème du produit nul ? de puente17, postée le 11-11-2019 à 15:19:00 (S | E)
Bonjour,

Quelle honte de m'a part , il y a eu une faute d’inattention en oubliant de diviser par 2 dans la surface du triangle. Le résultat de Wab51 m'a mis la puce...
en reprenant correctement les calculs:
x(8-x)/2 *4 = 32 → 0 = 16-8x+x² etc.

Bon mais je ne suis pas le seul à avoir fait une étourderie, jejeje, ça remonte le moral. Pour l'utilisation de Pythagore les hypoténuses se calculent à partir de:
x² + (8-x)² = (hyp)²

Réponse : Utilisation du théorème du produit nul ? de wab51, postée le 12-11-2019 à 11:55:46 (S | E)
Bonjour
Merci pour l'erreur qui ne répondait qu'à un cas bien particulier du problème.(en fait c'est une faute d'inattention d'une mauvaise lecture ).En contrepartie ,voilà peut-être une autre façon de raisonnement en s'appuyant sur le fait que les quatre petits triangles rectangles de cotés de l'angle droit x et y peuvent former un rectangle de dimensions 2x et y.

Merci et très bonne journée à tous .

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