équations et inéquations

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équations et inéquations
Message de pouvens posté le 26-12-2019 à 20:54:04 (S | E | F)
Bonjour aidez moi svp

Résoudre les équations et inéquations suivantes :
1) 6 (x-3) + 2 (2-3x) ≤ 3(2x-1)
2) (x-2)(5x+2)-(3x+5)(x-2)=0 ; puis (x-2)(5x+2)-(3x+5)(x-2)<0
3) x²-4x+4=0 puis x²-4x+4>0
4) (x-2)(3-5x)=(8+7x)(x-2) puis (x-2)(3-5x)≥ (8+7x)(x-2)

Réponse : équations et inéquations de wab51, postée le 26-12-2019 à 21:58:16 (S | E)
Bonsoir
1) 6 (x-3) + 2 (2-3x) ≤ 3(2x-1)
Développer puis réduire en regroupant les termes semblables chacun des deux membres de l'inégalité et vous tombez sur une inéquation du 1er degré à une inconnue facile à résoudre .
2) (x-2)(5x+2)-(3x+5)(x-2)=0 ; puis (x-2)(5x+2)-(3x+5)(x-2)<0
Le facteur commun est apparent et par conséquent mettre sous forme de produit de deux facteurs l'expression (x-2)(5x+2)-(3x+5)(x-2) et revoir le cours "racines et signes du trinôme du second degré en établissant un tableau de signes et les solutions sont immédiates
3) x²-4x+4=0 puis x²-4x+4>0
Voir que l'expression x²-4x+4 représente une identité remarquable puis appliquer la propriété du cours comme précédemment .
4) (x-2)(3-5x)=(8+7x)(x-2) puis (x-2)(3-5x)≥ (8+7x)(x-2)
Même raisonnement que Q-2) en pensant tout d'abord à transposer l'un des deux membres dans l'autre puis suivre le même raisonnement que précédemment que dans Q-2) .
Je vous souhaite bon courage .Transmettez vos résultats .Bonne chance .

Réponse : équations et inéquations de pouvens, postée le 29-12-2019 à 19:51:17 (S | E)
1) 6(x-3)+2(2-3x) ≤ 3(2x-1) ⇔ 6x-18+4-6x ≤ 6x-3 ⇔ -11 ≤ 6x ⇔x ≥ -11/6

S = [-11/6;+∞[

2) (x-2)(5x+2)-(3x+5)(x-2) = 0 ⇔ (x-2)(5x+2-3x-5) = 0 ⇔(x-2)(2x-3) = 0 ⇔ x=2 ou x = 3/2

S = {1,5 ; 2}

(x-2)(5x+2)-(3x+5)(x-2) < 0 ⇔ (x-2)(2x-3) < 0

(x-2) et (2x-3) doivent être de signes différents, ce qui se produit entre 1,5 et 2, d'où l'ensemble des solutions S = ]1,5 ; 2[

3) x²-4x+4 = 0 ⇔ (x-2)² = 0 ⇔ x = 2

S = {2}

x²-4x+4 > 0 ⇔ (x-2)² > 0

On a une parenthèse au carré donc un résultat jamais négatif mais nul pour x = 2.

S = ]-∞;2[ ∪ ]2;+∞[

4) (x-2)(3-5x) = (8+7x)(x-2) ⇔ (x-2)(8+7x+5x-3) = 0 ⇔ (x-2)(12x+5) = 0 ⇔ x= 2 ou x = -5/12

S = {-5/12 ; 2}

(x-2)(3-5x) ≥ (8+7x)(x-2) ⇔ (x-2)(12x+5) ≤ 0

Il faut que les parenthèses soient de signes différents ou s'annulent.

S = [-5/12 ; 2]

Réponse : équations et inéquations de wab51, postée le 30-12-2019 à 00:53:58 (S | E)
Très bon travail.

Réponse : équations et inéquations de pouvens, postée le 30-12-2019 à 20:12:02 (S | E)
merci

Réponse : équations et inéquations de wab51, postée le 30-12-2019 à 22:00:11 (S | E)
De rien .
Votre méthode est bonne et vos réponses sont justes.Mais simplement à titre de subsidiaire et arbitraire,on peut suggérer une autre méthode de résolution des dites inéquations autrement dit à travers l'étude du signe d'un trinôme du second degré (ax²+bx+c)qui ne va dépendre que du signe du coefficient du terme du plus haut degré de x² qui est a , qui devient plus simple,surtout lorsqu'il se présente sous sa forme factorisée et ses racines connues et c'est bien le cas .Ses conditions étant bien remplies alors il suffit de l'application directe du théorème bien connu au cas où le trinôme a deux racines connues distinctes:
-1)le signe d'un trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines
-2)le signe d'un trinôme est de signe opposé à celui de a entre les racines .
Ainsi,dans l'inéquation (x-2)(2x-3)<0 ,on a a=2 donc a positif et comme le trinôme (x-2)(2x-3) est négatif ,autrement dit de signe opposé de a ,alors il ne peut être strictement négatif qu'entre les racines -3/2 et 2 et par conséquent l'ensemble des solutions x qui vérifient cette inéquation appartiennent à l'intervalle ouvert ]3/2 , 2[ .
*Et on applique le même raisonnement à l'inéquation (x-2)(12x+5)≤0, où on distingue que a=12 donc a positif et comme le trinôme (x-2)(12x+5) est négatif ou nul ,alors il ne peut être négatif ou nul qu'entre les racines -5/12 et 2 et par conséquent l'ensemble des solutions x qui vérifient cette inéquation appartiennent à l'intervalle fermée [-5/12 , 2].
Merci , bonne réussite et bonne chance .

Réponse : équations et inéquations de wab51, postée le 30-12-2019 à 22:10:25 (S | E)
Et enfin pour résumer le tout ,voici un tableau récapitulatif de tous les résultats :

Merci

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