Probabilités
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Message de math52 posté le 25-04-2020 à 21:09:54 (S | E | F)
Voici mon exercice :
Un test de dépistage de maladie est positif chez 99% des malades mais également chez 1% des bien-portants.
On pratique le test chez une population nombreuse dont on sait qu’en moyenne 1 personne sur 200 est atteinte de la maladie.
a - Quelle est la probabilité que le test soit positif chez une personne prise au hasard dans cette population ?
b - Quelle est la probabilité qu’une personne ayant un test positif soit effectivement malade ? Commenter
c - Quelle est la probabilité qu’une personne ayant un test négatif soit effectivement bien-portante ? Commenter
d - On interroge au hasard 10 personnes dans la population. Quelle est la probabilité pour que le test se révèle positif chez au moins une d’entre elles
Indication : On notera, pour k= 1, . . . ,10; Tk l’évènement , le test est positif chez la k ème personne interrogée et on supposera les Tk mutuellement indépendants.
J'ai donc effectivement trouvé les 3 premières réponses.
Je n'énumère pas ma démarche mais j'ai utilisée la formule des probabilités totales et Formule de Bayes.
Maintenant il me reste la question 4, je n'ai aucune idée de la méthode à utiliser.
Pourriez-vous m'aider à résoudre ce problème ? Merci d'avance !
Message de math52 posté le 25-04-2020 à 21:09:54 (S | E | F)
Voici mon exercice :
Un test de dépistage de maladie est positif chez 99% des malades mais également chez 1% des bien-portants.
On pratique le test chez une population nombreuse dont on sait qu’en moyenne 1 personne sur 200 est atteinte de la maladie.
a - Quelle est la probabilité que le test soit positif chez une personne prise au hasard dans cette population ?
b - Quelle est la probabilité qu’une personne ayant un test positif soit effectivement malade ? Commenter
c - Quelle est la probabilité qu’une personne ayant un test négatif soit effectivement bien-portante ? Commenter
d - On interroge au hasard 10 personnes dans la population. Quelle est la probabilité pour que le test se révèle positif chez au moins une d’entre elles
Indication : On notera, pour k= 1, . . . ,10; Tk l’évènement , le test est positif chez la k ème personne interrogée et on supposera les Tk mutuellement indépendants.
J'ai donc effectivement trouvé les 3 premières réponses.
Je n'énumère pas ma démarche mais j'ai utilisée la formule des probabilités totales et Formule de Bayes.
Maintenant il me reste la question 4, je n'ai aucune idée de la méthode à utiliser.
Pourriez-vous m'aider à résoudre ce problème ? Merci d'avance !
Réponse : Probabilités de tiruxa, postée le 26-04-2020 à 15:42:14 (S | E)
Bonjour
Passer par l'événement contraire, sachant que le contraire de "au moins un" est "aucun"
Réponse : Probabilités de roseodile, postée le 26-04-2020 à 15:53:02 (S | E)
La répétition doit faire penser à schéma classique, sous réserve que les évènement soient indépendants.
Réponse : Probabilités de math52, postée le 26-04-2020 à 18:30:09 (S | E)
Bonjour
Oui je sais qu’il faut trouver la probabilité inverse mais il faut utiliser Une probabilité sachant que ?
Réponse : Probabilités de pirouette, postée le 26-04-2020 à 19:31:25 (S | E)
Bonjour,
J'ai plongé dans la dernière question sans trop réfléchir à la méthode... jusqu'à trouver un résultat jugé globalement satisfaisant pour mon niveau.
Sans avoir la présence d'esprit de Tiruxa, pourtant je ne pouvais pas ignorer cela, je viens de refaire le "calcul contraire".
Ouf ! la somme est égale à 1.
L'efficacité passe par la méthode de Tiruxa, y a pas photo, le chemin est bien plus court.
Mais il est toujours bon d'avoir plusieurs cordes à son arc.
Etre capable de s'enfoncer dans le raisonnement sinueux des probabilités sans se tromper est rassurant sur la qualité de celui-ci.
Heureusement que l'échantillon se limitait à 10 personnes.
Dérapage contrôlé !
Réponse : Probabilités de math52, postée le 26-04-2020 à 19:36:43 (S | E)
Bonjour pirouette
Pourriez vous m’expliquer la méthode à appliquer ?
Réponse : Probabilités de tiruxa, postée le 26-04-2020 à 19:50:57 (S | E)
Merci Pirouette pour les compliments...
Pour être encore plus clair sur la méthode (dite méthode indirecte) :
probabilité pour que le test se révèle positif chez au moins une d’entre elles = 1 - probabilité pour que le test soit négatif pour les 10 personnes.
Je ne vais pas donner la réponse, mais j'explique un peu le principe :
Tu as du trouver la probabilité que le test soit positif pour une personne, appelons la p.
La probabilité pour que test soit négatif pour une personne est alors 1-p appelons la q.
Si maintenant on teste deux personnes (sans lien entre elles, ce qui veut dire que les tests sont indépendants l'un de l'autre) la proba que les deux soient positifs est p², celle que les deux soient négatifs est q² et enfin celle que l'on ait un positif et un négatif est pq+qp=2pq.
La somme des 3 est (p+q)² ce qui donne bien 1.
Réponse : Probabilités de math52, postée le 26-04-2020 à 20:05:03 (S | E)
Super merci beaucoup,
je vais me pencher sur votre calcul, je re-posterai un message concernant le résultat !
Bonne soirée à vous
Réponse : Probabilités de math52, postée le 26-04-2020 à 20:42:15 (S | E)
Voici mon calcul :
Je note P(T) = test positif
Et P(N) = test négatif
Donc on avait grace aux calculs précédents : P(T) = 0,0149
Donc P(N) = 1-0,0149
J’ai donc effectué : 1 - P(N)^10 ce qui m’a donné 1- (1-0,0149)^10
Soit environ 0,139, ce qui me paraît possible
Est-ce le bon raisonnement ?
Réponse : Probabilités de tiruxa, postée le 26-04-2020 à 21:19:37 (S | E)
C'est tout à fait ça. Bien !
Ce n'était pas si dur, à retenir car cela sort assez souvent dans les exercises.
Bonne soirée
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