Une équation avec de module

Bonjour,

Bon cette équation dans C ressemblait beaucoup à une autre déjà proposée ici.

Comme le dit Hicham15 on attendait qu'un élève de terminale s'y essaye...

Donc j'ai fait autre chose, je me suis amusé à illustrer géométriquement sa résolution.

J'utilise en particulier le cercle de Carlyle

voir :https://fr.wikipedia.org/wiki/Cercle_de_Carlyle

D'abord, si on pose x=a+ib avec a et b dans R.
-x²=-a²+b²-2abi
Or -x² doit être égal à un module donc doit être réel, donc ab=0, c'est à dire a=0 ou b=0 ou encore x est réel ou imaginaire pur.

Hicham15 a déjà dit, fort justement, que x ne pouvait pas être réel donc x= bi et -x²=b².

L'équaton s'écrit donc |bi-3|=b².

A partir de là je vais travailler dans le plan complexe.

(figure 1)

Soit B d'affixe bi et A d'affixe 3.
|bi-3|=AB (que je pose égal à d) et b²=OB².

L'équation s'écrit donc d=OB².
Or d'après Pythagore d²=9+OB² ou OB²=d²-9 d'où l'équation est équivalente à (d=d²-9 avec d=b²)
ou d²-d-9=0 et d=b². (avec d positif)

Je vais donc illustrer la solution de d²-d-9=0 par la méthode du cercle de Carlyle.

         (figure 2)

On place A (0,1) et B(1,-9), les coordonnées de B étant la somme et le produit des racines de l'équation. On trace le cercle de diamètre [AB] les solutions sont les abscisses des points d'intersection du cercle et de l'axe des abscisses.
Donc d est l'abscisse du point C (je ne prends que la solution positive de l'équation)

Ensuite on représente la racine carrée de d par une méthode classique.
Je place H(1,0) et je trace le triangle rectangle ODC tel que H soit le pied de la hauteur issue de D.
On sait (relation métrique dans un triangle rectangle) que HD²=HOxHC=1x(d-1)=d-1

Enfin dans le triangle OHD daprès Pythagore

OD²=OH²+HD²=1+(d-1)=d

donc OD=, et on a b==OD ou b=-=-OD.

il suffit de reporter la longueur OD sur l'axe des ordonnées, on obtient I et G qui sont les points images des solutions cherchées.

Voilà une valeur approchée de la valeur positive de b est 1.88, mais on peut trouver la valeur exacte par les méthodes classiques...

Merci de m'avoir lu jusqu'au bout.. et désolé si des étourderies ce sont glissées en chemin...

Bonjour,

Si on prend x=

-x²=

résultats différents donc (en prendre des valeurs approchées ou les élever au carré pour le vérifier)

Si on prend x==bi (pour alléger l'écriture)

-x²=

les deux nombres sont égaux, en les élevant au carré on trouve 

Equation x²-4x-9=0

Si on trace le cercle de Carlyle de l'équation  , on a rapidement une valeur approchée de la racine positive : (abscisse de C : 5.6 environ)