Relation d'équivalence
Cours gratuits > Forum > Forum maths || En basMessage de asmamoussaoui posté le 26-05-2022 à 01:42:38 (S | E | F)
Bonjour, quelqu'u peut m'aider à résoudre cet exercice ? Merci d'avance !
Soit E un ensemble et A une partie de E
On définit dans P(E) (l’ensemble des parties de E) la relation R par :
(x.y).(x.y)
[P(E)]² xRy
A
x = A
y
a) Montrer que R est une relation d’équivalence.
b) Déterminer les classes d’équivalence suivantes :
cI (A) , eI () , cI (E)
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Modifié par asmamoussaoui le 26-05-2022 01:44
Réponse : Relation d'équivalence de hicham15, postée le 26-05-2022 à 14:38:14 (S | E)
Bonjour,
Tu peux nous présenter ce que tu as fait ? Tes suggestions de solution ?
Si tu es complétement bloqué, on peut t'aider..
Bonne journée.
Réponse : Relation d'équivalence de hicham15, postée le 26-05-2022 à 19:46:48 (S | E)
Bonjour,
Merci pour la proposition.
* R réflexive :
Soit x de p(E).
x inter A = x inter A ( en fait c'est vrm le même ensemble, la même écriture.. on a juste mis un signe d'égalité évident).
D'où xRx.
* R symétriques :
Soient x, y de p(E) tels que xRy
Donc x inter A = y inter A
(x et y jouent un rôle similaire)
Enfin, yRx
* R transitive :
Soient x, y, z de p(E)
Supposons que xRy et yRz.
Donx x inter A = y inter A et y inter A = z inter A.
D'où : x inter A = z inter A.
Finalement, xRz.
Merci de proposer une solution pour b).
Réponse : Relation d'équivalence de hicham15, postée le 27-05-2022 à 13:13:06 (S | E)
Bonjour,
b)
* Classe d'equivalence de A :
On sait que A inter A = A.
Donc cI(A) = {x de P(E); xRA} = {x de P(E); x inter A = A} = {x de P(E); A ⊆ x}
cI(A) est l'ensemble des ensembles contenant A.
* Classe d'equivalence de Ø :
On sait que Ø inter A = Ø
Donc cI(Ø) = {x de P(E); xRØ} = {x de P(E); x inter A = Ø}
cI(Ø) est l'ensembles des différentes parties de E\A ( l'ensemble E moins l'ensemble A).
* Classe d'equivalence de E :
On sait que E inter A = A = A inter A
(Autrement : E est un ensemble qui contient A)
Donc E appartient à cI(A)
D'où cI(A) = cI(E)
Bonne chance.
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