Angle de base dans un triangle

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Angle de base dans un triangle
Message de anafing posté le 03-06-2022 à 09:19:57 (S | E | F)
Bonjour,
j'ai le problème suivant :
Sur quelle courbe se trouvent les sommets C des triangles ABC à base fixe A(-3/0) B(3/0) pour lesquels on a toujours β=2*α.

Lien internet

Le résultat me fait penser à une hyperbole.
Quelles sont mes premières réflexions ?
Comment dois-je commencer le problème ?
Comment poursuivre le calcul ?

Je vous remercie pour vos conseils. Mes connaissances de base en géométrie sont assez faibles.

Réponse : Angle de base dans un triangle de tiruxa, postée le 03-06-2022 à 22:57:42 (S | E)
Bonjour

Si M(x,y) est le troisième sommet du triangle

On peut calculer tan(alpha) et tan(beta) en fonction de x et y.

Comme beta=2alpha à l'aide de la formule de duplication de la fonction tangente on trouve l'équation du lieu de M qui est une demi hyperbole.

Il y a peut être plus simple...

Réponse : Angle de base dans un triangle de anafing, postée le 04-06-2022 à 08:36:10 (S | E)
bonjour,
merci beaucoup pour ta solution.
Je n'ai pas pu utiliser tan(x). Je pense avoir compris ton idée de base.

h=b*sin(α)=y
h= a*sin(2*α)=y
b*sin(α)=a*sin(2*α)=2*a*sin(α)*cos(α)
b=2*a*cos(α)

M(x,y)=M(x,h)
A(-3,0)
B(3,0)

AM=b=sqrt((x+3)² + y²)
BM=a=sqrt((x-3)² + y²)

AM=b=√((x+3)² + y²)
BM=a=√((x-3)² + y²)

Je ne sais pas comment je peux continuer.

Lien internet

Le fichier joint peut-il s'ouvrir ?

à bien tôt

Réponse : Angle de base dans un triangle de tiruxa, postée le 04-06-2022 à 09:17:45 (S | E)
Bonjour

J'avais pris la tangente parce qu'elle s'exprime facilement en fonction des coordonnées de M
et aussi parce que tan(2 alpha)=2tan(alfa)/(1-tan²(alpha))

Maintenant il faut voir que alfa doit être inférieur à pi/3 pour que le triangle et donc M existe... dans le fichier geogebra il faut corriger en mettant 60° pour le max de alpha.

De plus si on utilise la tangente, beta=pi/2 (donc alpha=pi/4) doit être traité à part car sa tangente n'existe pas mais dans ce cas M=(3,6).
Il faut aussi détailler le cas alpha > pi/4.... car la tangente de beta est alors négative...

Enfn si alpha vaut 0° le triangle est aplati et M est n'importe quel point du segment ouvert ]AB[

Bref tous calculs faits je trouve 3x²-y²+6x-9=0 (avec en plus le segment ]AB[)

Réponse : Angle de base dans un triangle de anafing, postée le 04-06-2022 à 14:11:01 (S | E)
Bonjour
Je n'ai que partiellement compris les réflexions préliminaires.
De plus si on utilise la tangente, beta=pi/2 (donc alpha=pi/4) doit être traité à part car sa tangente n'existe pas mais dans ce cas M=(3,6).

compris

Enfn si alpha vaut 0° le triangle est aplati et M est n'importe quel point du segment ouvert ]AB[

compris

Bref tous calculs faits je trouve 3x²-y²+6x-9=0 (avec en plus le segment ]AB[)

pas compris

Comment puis-je passer des considérations préliminaires aux résultats? Dois-je faire une distinctions entre les cas? Pouvez-vous me présenter votre raisonnement de manière un peu plus détaillée?

Tangente = cathédrale opposée / anathème
La contre-catène de mon triangle est la hauteur h_c. Quelle est la taille de l'anathème dans le triangle ?

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Modifié par anafing le 04-06-2022 14:11

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Modifié par anafing le 04-06-2022 14:13

Réponse : Angle de base dans un triangle de tiruxa, postée le 04-06-2022 à 17:57:53 (S | E)
La difficulté est pour tan(beta)
M se projette orthogonalement en H sur (AB)
tan(alpha)=HM/AM=y/(x+3) (soit côté opposé sur côté adjacent)

Si beta <pi/2
tan(beta)=HM/BM=y/(3-x)

Si beta>pi/2
tan(beta)=-tan(pi-beta)=-MH/BM=-y/(x-3)=y/(3-x)

Donc on trouve le même résultat (seul le cas beta=pi/2 ne permet pas de calculer la tangente, mais dans ce cas le point M a pour coordonnées (3,6))

Or tan(beta)=tan(2alpha)=(2 tan(alpha))/(1-tan²(alpha))

Donc pour x différent de 3 on a

y/(3-x)=[2y/(x+3)]/[1-y²/(x+3)²]
On suppose y non nul (le cas y nul donne le segment ]AB[
On simplifie par y

1/(3-x)=[2/(x+3)]/[1-y²/(x+3)²]
ou (produits en croix)
1-y²/(x+3)²=2(3-x)/(x+3)
en multipliant par (x+3)²
(x+3)²-y²=2(x+3)(3-x)
ou après développement
3x²-y²+6x-9=0 (avec x différent de 3)

Rem : on peut rajouter le point (3,6) qui vérifie cette équation

Réponse : Angle de base dans un triangle de wab51, postée le 04-06-2022 à 20:03:14 (S | E)
Bonsoir

Lien internet

Réponse : Angle de base dans un triangle de anafing, postée le 05-06-2022 à 19:24:55 (S | E)
Super, merci beaucoup.

J'ai rarement eu affaire à des courbes locales et j'étais très maladroit dans mon approche au début. Ici, je veux m'entrainer encore plus.

Pour chaque triangle qui remplit la condition 2(alpha)=beta, les points M se trouvent sur un lieu de l'hyperbole. Que puis-je faire de cette propriété? Puis-je rendre cette propriété utile quelque part? Puis-je déjà déduire l'équation de l'hyperbole sans calculer pour certains triangles?

Y a-t-il d'autres relations angulaires importantes dans l'hyperbole.

Existe-t-il une relation similaire entre les angles pour les ellipses?

Je suis reconnaissant pour toute information complémentaire.

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