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Message de harmonique posté le 26-01-2023 à 18:07:55 (S | E | F)
Bonsoir svp besoin d'aide à propos de cet exercice où je bloque.
Soit la suite (Un) définie pour U0 appartenant à l'intervalle [0,1] par
U(n+1)=2Un si Un<1/2
U(n+1)=Un-1/2 si Un>=1/2.
1)Montrer que si Uo,est rationnel alors la suite (Un) est périodique à partir d'un rang
2)La réciproque est-elle vraie?
3)déterminer les valeures de Uo, pour lesquelles la suite converge.
Je n'arrive pas à démarer une question.
merci d'avance
Message de harmonique posté le 26-01-2023 à 18:07:55 (S | E | F)
Bonsoir svp besoin d'aide à propos de cet exercice où je bloque.
Soit la suite (Un) définie pour U0 appartenant à l'intervalle [0,1] par
U(n+1)=2Un si Un<1/2
U(n+1)=Un-1/2 si Un>=1/2.
1)Montrer que si Uo,est rationnel alors la suite (Un) est périodique à partir d'un rang
2)La réciproque est-elle vraie?
3)déterminer les valeures de Uo, pour lesquelles la suite converge.
Je n'arrive pas à démarer une question.
merci d'avance
Réponse : Suite numérique de tiruxa, postée le 27-01-2023 à 19:33:01 (S | E)
Bonjour
Pour la première question
On a u0 rationnel, donc il peut s'écrire p/(2q) avec p et q entiers (je prends un dénominateur pair pour les besoin de la démo, ce qui est toujours possible (par ex 1/3 s'écrirait 2/6 etc...)
Comme u0 est compris entre 0 et 1 p est compris entre 0 et 2q.
Ensuite soit on multiplie par 2 (le dénominateur ne change pas) soit on enlève 1/2, le dénominateur commun est 2q donc le résultat aura aussi comme dénominateur 2q.
Dans les deux cas on obtient une fraction de dénominateur 2q comprise entre 0 et 1, donc son numérateur est compris entre 0 et 2q soit 2q+1 possibilités. D'après le théorèmes des tiroirs au bout d'au plus 2q+2 termes calculés on va retomber sur un terme déjà obtenu et on aura une suite périodique à partir de ce rang là.
Pour info ce th peut s'énoncer ainsi : "si l'on place n +1 objets dans n tiroirs il y a au moins un tiroir qui contiendra au moins deux objets".
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