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Message de aury21 posté le 31-03-2023 à 10:04:54 (S | E | F)
Bonjour, j'aurais besoin d'aide sur un exercice
On suppose que G est fini d'ordre impaire.
1)Montrer que si x G vérifie x^2=e x=e.
2)Montrer que pour tout x ∈ G il existe y ∈ G tel que y^2=x.
1)Soit x ∈ G, x^2=e
Donc X est d'ordre au plus 2 c'est-à-dire d'ordre 1 et 2. Or, G est d'ordre impair et pour tout k ∈ ℕ 2≠2k+1 donc ce n'est pas 2.
Donc X=e.
Merci d'avance pour votre aide
Message de aury21 posté le 31-03-2023 à 10:04:54 (S | E | F)
Bonjour, j'aurais besoin d'aide sur un exercice
On suppose que G est fini d'ordre impaire.
1)Montrer que si x G vérifie x^2=e x=e.
2)Montrer que pour tout x ∈ G il existe y ∈ G tel que y^2=x.
1)Soit x ∈ G, x^2=e
Donc X est d'ordre au plus 2 c'est-à-dire d'ordre 1 et 2. Or, G est d'ordre impair et pour tout k ∈ ℕ 2≠2k+1 donc ce n'est pas 2.
Donc X=e.
Merci d'avance pour votre aide
Réponse : Groupes de tiruxa, postée le 31-03-2023 à 20:08:13 (S | E)
Bonjour
Pouvez vous vérifier la première question il semble qu'il manque des mots...
Pour la deuxième
Soit n l'ordre du groupe, n est impair donc n=2p+1 avec p entier.
Soit x élément de G on a x^n=e
Posons y=x^(p+1) vérifions que y²=x :
y²=x^(2p+2)= x^(2p+1)x = x^n x= ex = x
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