<< Forum maths || En bas
Polynômes
Message de iris6 posté le 13-11-2008 à 21:48:20 (S | E | F)
Message de iris6 posté le 13-11-2008 à 21:48:20 (S | E | F)
Bonjour, j'aurais besoin d'aide svp pour un exercice sur les polynômes.
On a Pn (x) un polynôme:
Pn (x)=(xn-1)(xn+1-1)
et n un entier naturel
Démontrer qu'il y a un polynôme Qn (x) de telle sorte que :
Pn (x)=(x-1)².(x+1).Qn (x)
Réponse: Polynômes de lagouv, postée le 14-11-2008 à 08:32:50 (S | E)
Bonjour,
En fait, c'est tout simple.
On te demande juste de montrer que ton polynome P est factorisable par (x-1)^2 et par x+1.
Essaie de factoriser x^n - 1 et x^(n+1)-1 (juste assez pour faire apparaitre du (x-1)^2 et du x+1 ) et tu obtiendras tout naturellement ton polynome Q.
Voilà ,
Bonne journée
Letitia
Réponse: Polynômes de iris6, postée le 14-11-2008 à 13:38:19 (S | E)
Salut,
Je ne sais pas comment factoriser (xn-1) et (xn+1-1) par (x-1)2 et (x+1)
Est ce que je dois faire la division euclidienne ?
et merci
Réponse: Polynômes de taconnet, postée le 14-11-2008 à 14:52:32 (S | E)
Bonjour.
Commencez en posant n = 3 par exemple.
P3 (x) = (x3 - 1)(x4 -1)
On connaît l'identité remarquable :
x3 - 1 = (x - 1)(x² + x + 1)
On sait aussi
1 + x + x2 + x3 + x4 + .... + .. xn est une progression géométrique de raison x et de premier terme 1 dont on sait déterminer la somme.
On a donc :
xn - 1 = (x - 1)(xn-1 + xn-2 + ...... + x² + x + 1
D'autre part
x4 - 1 = ((x²)² - 1) = (x² - 1)(x² + 1) = (x -1 )(x + 1)(x² + 1)
conséquence :
(x3 - 1)(x4 -1) = (x - 1)(x² + x +1)(x - 1)x + 1)(x² + 1)
(x3 - 1)(x4 -1) = (x - 1)²(x + 1)(x²+ x +1)(x² + 1)
(x3 - 1)(x4 -1) = (x - 1)²(x + 1)(x4 + x3 + 2x2 + x +1)
Ainsi on a bien :
P3 (x) = (x3 - 1)(x4 -1) = (x - 1)²(x + 1)(x4 + x3 + 2x2 + x +1)
Avec Q(x) = x4 + x3 + 2x2 + x + 1
Attention ! le dégré de Q(x) n'est pas celui de P(x)
A vous de généraliser........
Réponse: Polynômes de iris6, postée le 14-11-2008 à 15:02:22 (S | E)
merci beaucoup pour votre aide
