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Suites, limites
Message de paumade posté le 02-01-2009 à 20:41:56 (S | E | F)
Bonjour et Bonne année
,
J'ai un devoir maison sur les suites et je bloque sur quelques questions.
1) La suite u est définie par Uo=2 et Un+1=(1/3)Un+23/27 pour tout entier naturel n
a) On a représenté ci-dessous dans un repère orthonormé direct du plan, la droite d'équation y=(1/3)x+23/27 et le point A de coordonnées (2,0). Construire sur l'axe des abscisses les quatres premiers termes de la suite u.
Pour cette question j'ai construis la droite à l'origine, puis j'ai reporté chaque termes jusqu'à U4.
b) démontrer que si la suite u est convergente, alors sa limite est l=23/18.
PROBLEME : Pour cette question, je ne sais pas s'il faut que je prouve qu'elle est convergente puis que je trouve la limite ou alors simplement trouver la limite. Mais de toute façon, je n'arrive pas à trouver 23/18.
c) Démontrer que pour tout entier naturel n, on a Un strictement supérieur à 23/18.
J'ai trouvé ceci :
Soit Pn la propriété, Un strictement > à 23/18
Vérifions que Pn est vraie au rang n=o
Uo=2 donc Uo strictement > à 23/18
Pn est vraie au rang n=o
Vérifions que Pn est vraie au rang k quelconque
Vérifions si Pn est vraie au rang k+1
Uk+1 strictement > à (1/3)uk+23/27
or, on suppose que Uk strictement > à 23/18
(1/3) Uk+23/27 strictement > à 23/18
(1/3)Uk+23/27 strictement supérieur à (1/3 * 23/18) + 23/27
Donc, Uk+1 strictement > à 23/18
On a montré que :
Pn est vraie au rang n=o
Si pn est vraie au rang k alors Pn est vraie au rang k+1.
Or, si Un strictement > ) 23/18 alors 23/18 est le minorée.
PROBLEME : je ne comprends pas comment elle peut-être minorée par 23/18 alors que sa limite est 23/18 vu que sur le graphique elle est croissante. Mais après par le calcul je la trouve décroissante. Je pige pas trop.
d) Etudier la monotonie de la suite u et donner sa limite.
J'ai fais :
Un+1-Un=(1/3)Un+23/27-Un
Un+1-Un=(-2/3)Un-23/18
Pour tout n de N, n strictement > à 0
23/18 strictement inférieur à Un
23/18 strictement inférieur à (2/3)Un
23/18 strictement supérieur à -(2/3)Un
0 strictement supérieur à (-2/3)Un-23/18+23/27
Donc Un+1-Un strictement inférieur à O, Un+1 strictement inférieur à Un.
Donc (Un) est décroissante et minorée par 23/18 donc elle est convergente.
PROBLEME : Je ne sais pas comment faire pour trouver la limite.
2) a) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1. Démontrer que :
sigma n+1 et k=2 (1/10k)=(1/90)(1-1/10n)
c'est-à-dire que 1/10^2+1/10^3+......+1/10n+1=1/90(1-1/10n)
J'ai fais pas récurrence :
Première étape :
La propriété est vraie pour n=2
car, zigma 2, k=2 1/10^2 est égale à 0,01
et 1/90(1-1/10^2) est égale à 0,011 (Je ne sais pas trop si c'est vraiment vraie mais si ça l'est, est ce qu'il faut que j'arrondisse au dixième près ou c'est faux ?)
Deuxième étape :
On suppose la propriété vraie au rang p,
donc zigma p, k=2 1/10k=1/90(1-1/10p)
et, on démontre qu'elle est vraie au rang p+1
c'est-à-dire
zigma p+1, k=2 1/10k=1/90(1-1/10p+1) soit 1/90-1/900p+1
On sait que
Zigma p+1, k=2 1/10k=(zigma p, k=2 1/10k)+(1/10p+1)
On remplace
zigma p, k=2 1/10k+ 1/90(1-1/10p)
zigma p+1, k=2 1/10k= 1/90(1-110p)+(1/10p+1)
PROBLEME : je ne retrouve pas quand je développe 1/90 - 1/900p+1
Merci de m'aider d'avance
Message de paumade posté le 02-01-2009 à 20:41:56 (S | E | F)
Bonjour et Bonne année
,J'ai un devoir maison sur les suites et je bloque sur quelques questions.
1) La suite u est définie par Uo=2 et Un+1=(1/3)Un+23/27 pour tout entier naturel n
a) On a représenté ci-dessous dans un repère orthonormé direct du plan, la droite d'équation y=(1/3)x+23/27 et le point A de coordonnées (2,0). Construire sur l'axe des abscisses les quatres premiers termes de la suite u.
Pour cette question j'ai construis la droite à l'origine, puis j'ai reporté chaque termes jusqu'à U4.
b) démontrer que si la suite u est convergente, alors sa limite est l=23/18.
PROBLEME : Pour cette question, je ne sais pas s'il faut que je prouve qu'elle est convergente puis que je trouve la limite ou alors simplement trouver la limite. Mais de toute façon, je n'arrive pas à trouver 23/18.
c) Démontrer que pour tout entier naturel n, on a Un strictement supérieur à 23/18.
J'ai trouvé ceci :
Soit Pn la propriété, Un strictement > à 23/18
Vérifions que Pn est vraie au rang n=o
Uo=2 donc Uo strictement > à 23/18
Pn est vraie au rang n=o
Vérifions que Pn est vraie au rang k quelconque
Vérifions si Pn est vraie au rang k+1
Uk+1 strictement > à (1/3)uk+23/27
or, on suppose que Uk strictement > à 23/18
(1/3) Uk+23/27 strictement > à 23/18
(1/3)Uk+23/27 strictement supérieur à (1/3 * 23/18) + 23/27
Donc, Uk+1 strictement > à 23/18
On a montré que :
Pn est vraie au rang n=o
Si pn est vraie au rang k alors Pn est vraie au rang k+1.
Or, si Un strictement > ) 23/18 alors 23/18 est le minorée.
PROBLEME : je ne comprends pas comment elle peut-être minorée par 23/18 alors que sa limite est 23/18 vu que sur le graphique elle est croissante. Mais après par le calcul je la trouve décroissante. Je pige pas trop.
d) Etudier la monotonie de la suite u et donner sa limite.
J'ai fais :
Un+1-Un=(1/3)Un+23/27-Un
Un+1-Un=(-2/3)Un-23/18
Pour tout n de N, n strictement > à 0
23/18 strictement inférieur à Un
23/18 strictement inférieur à (2/3)Un
23/18 strictement supérieur à -(2/3)Un
0 strictement supérieur à (-2/3)Un-23/18+23/27
Donc Un+1-Un strictement inférieur à O, Un+1 strictement inférieur à Un.
Donc (Un) est décroissante et minorée par 23/18 donc elle est convergente.
PROBLEME : Je ne sais pas comment faire pour trouver la limite.
2) a) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1. Démontrer que :
sigma n+1 et k=2 (1/10k)=(1/90)(1-1/10n)
c'est-à-dire que 1/10^2+1/10^3+......+1/10n+1=1/90(1-1/10n)
J'ai fais pas récurrence :
Première étape :
La propriété est vraie pour n=2
car, zigma 2, k=2 1/10^2 est égale à 0,01
et 1/90(1-1/10^2) est égale à 0,011 (Je ne sais pas trop si c'est vraiment vraie mais si ça l'est, est ce qu'il faut que j'arrondisse au dixième près ou c'est faux ?)
Deuxième étape :
On suppose la propriété vraie au rang p,
donc zigma p, k=2 1/10k=1/90(1-1/10p)
et, on démontre qu'elle est vraie au rang p+1
c'est-à-dire
zigma p+1, k=2 1/10k=1/90(1-1/10p+1) soit 1/90-1/900p+1
On sait que
Zigma p+1, k=2 1/10k=(zigma p, k=2 1/10k)+(1/10p+1)
On remplace
zigma p, k=2 1/10k+ 1/90(1-1/10p)
zigma p+1, k=2 1/10k= 1/90(1-110p)+(1/10p+1)
PROBLEME : je ne retrouve pas quand je développe 1/90 - 1/900p+1
Merci de m'aider d'avance
Réponse: Suites, limites de iza51, postée le 02-01-2009 à 20:55:57 (S | E)
Bonjour,
1) pour la construction, on ne fait aucun calcul ; on utilise les droites d'équations y=x et y=(1/3)x+23/27 en partant du point A d'abscisse uo
le graphique permet de conjecturer que la suite est décroissante et minorée et convergente
b)'démontrer que si la suite u est convergente, alors sa limite est L=23/18'
non on ne démontre pas qu'elle est convergente dans cette question
on cherche une conséquence de la proposition 'la suite est convergente'
on raisonne en disant que si la suite (un) est convergente, alors sa limite L vérifie f(L)=L car un+1=f(un) et f est continue sur R
on est alors amené à résoudre f(x)=x
3)
Réponse: Suites, limites de paumade, postée le 02-01-2009 à 21:11:25 (S | E)
1) a) Oui, j'ai fais aucun calcul. J'ai bien tracé y=x et je suis bien partie de A pour Uo.
b) Je ne comprends pas pourquoi vous dites f(Un)=Un+1 parce que pour moi c'est f(Un+1) qui est représenté.
Après faudra que je fasse f(x)-x, directement ? J'ai le droit ?
ça ferait :
(1/3)x+23/27=x
(1/3)x+23/27-x=0
-2/3x+23/27=O
-2/3x=-23/27
x=23/18
Merci bien
Réponse: Suites, limites de iza51, postée le 02-01-2009 à 21:15:47 (S | E)
f(x)=x/3+23/27
en remplaçant x par un
on obtient f(un)=un/3+23/27
c'est à dire
un+1=f(un)
ok?
-------------------
Modifié par iza51 le 02-01-2009 21:20
Erreurs de frappe (maintenant corrigées!)
Réponse: Suites, limites de paumade, postée le 02-01-2009 à 21:19:48 (S | E)
euh,
pourquoi f(x)=x/3+3-23/27 alors que y=x/3+23/27 ?
Réponse: Suites, limites de paumade, postée le 02-01-2009 à 21:29:21 (S | E)
J'ai mal lu, dsl :s
C'est bon je pense avoir compris. Merci
Réponse: Suites, limites de paumade, postée le 02-01-2009 à 21:31:10 (S | E)
Ok merci
C'est pas grave.
Est-ce-qu'après c'est bon, ce que j'ai fais ? pour les questions c) d) et 2a) ?
svp
Réponse: Suites, limites de plumemeteore, postée le 03-01-2009 à 00:14:22 (S | E)
bonjour
soit un terme de la liste égal à 23/18 + e, e étant un écart positif
le terme suivant est (23/18 + e)/3 + 23/27
= 23/54 + e/3 + 23/27
= 23/54 + 46/54 + e/3
= 69/54 + e/3
= 23/18 + e/3
à chaque terme suivant, l'écart avec 23/18 est divisé par 3; 23/18 est donc bien la limite de la suite
Réponse: Suites, limites de iza51, postée le 03-01-2009 à 06:07:58 (S | E)
Bonjour,
corrigé
c) On démontre par récurrence que pour tout entier naturel n, on a Un > 23/18.
Vérification au rang n=0:
Uo=2=36/18 > 23/18
Vérifions
uk+1
or, on a supposé que uk > 23/18
donc (1/3)Uk+23/27 strictement supérieur à (1/3 * 23/18) + 23/27
Donc, Uk+1 strictement > à 23/18
On a montré que :
*Pn est vraie au rang n=o
*Si pn est vraie au rang k alors Pn est vraie au rang k+1.
On conclut: pour tout entier naturel n, on a Un > 23/18.
d) Etudions la monotonie de la suite u et donnons sa limite.
Un+1-Un=(1/3)Un+23/27-Un
Un+1-Un=(-2/3)Un-23/18
pour tout entier naturel n, on a Un >23/18 > 0
donc (-2/3)Un <0 et -23/18 < 0
comme la somme de deux nombres négatifs est négative, on a
donc Un+1-Un strictement inférieur à O, Un+1 strictement inférieur à Un.
Donc (Un) est décroissante et minorée par 23/18 donc elle est convergente
La suite converge vers 23/18 d'après le b)
2) on peut faire une démonstration directe (sans récurrence) en utilisant les résultats sur les suites géométriques (si tu connais ce cours!)
&Sigma de k=2 à k=n+1 de 1/10^k = somme de n termes consécutifs d'une suite géométrique de premier terme 1/10² et de raison 1/10
(on a compté les termes: de 1 à n+1, on compte n+1 termes donc de 2 à n+1, on compte 1 terme de moins, soit n termes)
Cette somme est égale à
donc &Sigma de k=2 à k=n+1 de 1/10^k =(1/10²) × (1- 1/10^n) / (1-1/10)
=1/90 ×(1-1/10^n)
Réponse: Suites, limites de iza51, postée le 03-01-2009 à 06:50:10 (S | E)
corrigé de ta démonstration par récurrence :
on veut prouver que Σ de k=2 à k=n+1 de 1/10^k =1/90 ×(1-1/10^n)pour tout entier n non nul
Première étape :
La propriété est vraie pour n=1
car, Σ de k= 2 à k=2 de 1/10^2 est égale à 0,01 juste!
et 1/90 × (1-1/10^1)=1/90 × 9/10=1/100=0.01 car attention, k varie de 2 à n+1 au premier rang, n=1
Deuxième étape :
On suppose la propriété vraie au rang p,
donc Σ de k=2 à k=p+1 de 1/10^k=(1/90)(1-1/10^p)
et, on démontre qu'elle est vraie au rang p+1
c'est-à-dire que Σ de k=2 à k=p+2 de 1/10^k=(1/90)(1-1/10^(p+1))
Σ de k=2 à k=p+2 de 1/10^k=(Σ de k=2 à k=p+1 de 1/10^k) + 1/10^(p+2)
=(1/90)(1-1/10^p)+1/10^(p+2)
PROBLÈME : tu ne trouves pas quand tu développes car 90×10^(p +1)≠ 900p+1 et 90× 10^p ≠ 900^(p+1)
De plus, tu avais des erreurs sur les exposants
refais ce calcul: (1/90)(1-1/10^p)+1/10^(p+2)
Réponse: Suites, limites de paumade, postée le 03-01-2009 à 14:57:49 (S | E)
, j'ai bien compris pour les questions c) et d)Mais je ne comprends pas trop la 2)
Je n'ai pas compris lorsque l'on utilise pas la récurrence, quand vous dites " on compte n+1 termes donc de 2 à n=1, on compte 1 terme de moins soit n termes"
Pour la démonstration par récurrence,
pourquoi on prend n=1 ? qu'est ce que ça change si on prend n=2 ?
J'ai pas compris non plus pourquoi dans la première étape vous prenez à un moment n=2 et puis pour l'autre n=1 même si vous me dites que k varie de 2 à n+1 au premier rang. je n'arrive pas à comprendre.
je comprend pas non plus la deuxième étape...k=p+2
je suis désolée
Réponse: Suites, limites de iza51, postée le 03-01-2009 à 15:13:31 (S | E)
A prouver "Somme de k=2 à k=n+1 de 1/10^k =(1/90) ×(1-1/10^n) pour tout entier n non nul"
La première valeur non nulle et entière est 1
Et puis en vérifiant à n=2, la récurrence permettrait de conclure que c'est vrai à partir de n=2 seulement
Ceci dit pour vérifier pour n=2, on doit vérifier que "La Somme de k=2 à k=2+1=3 de 1/10^k est égale à (1/90) × (1- 1/10^2)
bien regarder la formule à démontrer !!!
"je ne comprends pas non plus la deuxième étape...k=p+2 "
pour la démonstration par récurrence, on suppose que l'assertion est vraie à un certain rang p et on démontre que l'assertion est encore vraie au rang d'après, c'est à dire au rang p+1
Au rang p, on suppose
1/10²+1/10^3+1/10^4+...+1/10^(p+1)=(1/90)(1-1/10^(p))
Au rang p+1, on démontre
1/10²+1/10^3+1/10^4+...+1/10^(p+2)=(1/90)(1-1/10^(p+1))
La somme de k=2 à k=n+1 de 1/10^k
=1/10²+1/10^3+1/10^4+...+1/10^(n+1)
= somme de n termes consécutifs d'une suite géométrique de premier terme 1/10² et de raison 1/10
(on a compté les termes de la somme et on est certain qu'il y en a n: car les exposants varient entre 2 et n+1 et car les entiers servent d'abord à compter à dénombrer! si les exposants variaient entre 1 et n+1, on compterait n+1 termes mais comme les exposants varient seulement entre 2 et n+1, on compte 1 terme de moins, soit n termes seulement!)
Réponse: Suites, limites de paumade, postée le 03-01-2009 à 18:33:10 (S | E)
J'ai bien compris la première partie, mais pourtant dans la dernière partie vous dites que les exposants varient seulement entre 2 et n+1, donc si elle commence à 2 ça devrait être la première valeur non nulle, non ?
Pour la deuxième partie, j'ai compris le raisonnement, mais dans mon autre démonstration par récurrence pour Un strictement supérieur à 23/18 pourquoi on fait pas la même chose.
Pour le rang p, on utiliserai pas p+1 et pour le rang p+1, p+2 ?
Réponse: Suites, limites de paumade, postée le 03-01-2009 à 18:48:08 (S | E)
Vous m'avez dis de refaire ce calcul ; (1/90)(1-1/10^p)+1/10^(p+2)
Mais si quand je développe, 90×10^(p +2)≠ 900p+2 et 90× 10^p ≠ 900^(p+2)
Donc je dois pas développer...
Réponse: Suites, limites de iza51, postée le 03-01-2009 à 19:58:21 (S | E)
première proposition: Soit Pn la propriété, Un strictement > à 23/18 à démontrer pour tout n entier naturel (à partir de 0)
premier rang, n=0 (imposé par l'énoncé)
Au rang p, on suppose Up > 23/18 on a remplacé n par p
Au rang d'après , au rang p+1, on démontre que c'est encore vrai cad:
Up+1 > 23/18 on remplace n par p+1
deuxième proposition
soit Pn la propriété: 1/10²+1/10^3+...+1/10^(n+1)=(1/90)(1-1/10^n) à démontrer pour tout n entier naturel non nul(à partir de 1)
premier rang n=1 (imposé par l'énoncé)
Au rang p, on suppose
1/10²+1/10^3+1/10^4+...+1/10^(p+1)=(1/90)(1-1/10^(p))on a remplacé n par p
Au rang p+1, on démontre
1/10²+1/10^3+1/10^4+...+1/10^(p+2)=(1/90)(1-1/10^(p+1))on remplace n par p+1
c'est bien la même technique
le premier exposant des puissances de 10 est bien 2; ça n'a rien à voir avec le premier rang!
calcul: (1/90)(1-1/10^p)+1/10^(p+2) =(1/90)(1-1/10^p +90 × 1/10^(p+2))
Ensuite, on calcule la parenthèse: 1-1/10^p +90 × 1/10^(p+2)
on peut mettre -1/10^p +90 × 1/10^(p+2) sous le même dénominateur!
etc.
Réponse: Suites, limites de paumade, postée le 03-01-2009 à 22:40:51 (S | E)
calcul: (1/90)(1-1/10^p)+1/10^(p+2) =(1/90)(1-1/10^p +90 × 1/10^(p+2))
Je comprends pas pourquoi vous multiplier par 10 alors que c'est (1-1/10p) qui est en facteur avec (1/90)...Je vois vraiment pas d'où il vient.
Réponse: Suites, limites de paumade, postée le 03-01-2009 à 22:46:49 (S | E)
par 90 pardon ^^
Réponse: Suites, limites de iza51, postée le 04-01-2009 à 05:34:18 (S | E)
règles de calcul: k × a+k × b=k ×(a+b)
calcul: (1/90)(1-1/10^p)+1/10^(p+2) =somme de deux termes; le premier terme est du type k × a ; on cherche à mettre k=1/90 en facteur
seulement on ne voit pas de 1/90 dans le second terme!
on fait apparaitre 1/90 dans le second terme puisque chacun sait que (1/90) × 90=1. Voilà d'où sort ce 90 (il ne sort pas du chapeau du magicien mais des règles de calcul de base!!!) Alors il est vrai que b=(1/90) × 90b
(1/90)(1-1/10^p)+1/10^(p+2)
=(1/90)(1-1/10^p)+(1/90) ×( 90 ×1/10^(p+2))=somme de deux termes ayant un facteur commun (1/90) que l'on met en facteur!
=(1/90)(1-1/10^p +90 × 1/10^(p+2))
=(1/90)(1-1/10^p+90/10^(p+2))
=produit de deux facteurs; dans le deuxième facteur, il y a deux fractions que l'on met sous le même dénominateur
Simples règles de base! les règles ont cela de formidable: à tout niveau, les mêmes règles s'appliquent. Les calculs peuvent être plus compliqués; les règles sont bien les mêmes et c'est pour cela que c'est simple
Réponse: Suites, limites de paumade, postée le 04-01-2009 à 13:22:13 (S | E)
C'est bon, merci j'ai bien tout compris...j'y avais pas pensé :s
