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Calcul d'une dérivée - variable disc
Message de lucas posté le 24-01-2009 à 11:35:37 (S | E | F)
Bonjour,
J'ai un doute par rapport au calcul de dérivée lorsqu'il concerne une fonction continue ou une fonction discrète.
Prenons la fonction f(x):=(a+b*x)^2.
Si on considère f(x) continue on calcule df(x)/dx = 2*(a+b*x)*b =2*a*b+2*b*x
Par contre si on prend l'idée que x represente le nombre d'années, on est tenté de dire [f(x+1)-f(x)]/[(x+1)-x]=[(a+b*(x+1))^2]-[(a+b*x)^2]=(b^2+2*a*b)+2*(b^2)*x
Je comprends parfaitement la différence entre f'(0) et f(1) qui donnent la pente de la tangente en 0 et 1 respectivement et [f(1)-f(0)] qui donne la pente de la droite entre ces deux points.
Ce qui m'échappe c'est le lien entre les deux notions. Ne peut-on pas considérer que la focntion discrète est la même que la continue dont on considère seulement les images pour les x entiers? Dans ce cas comment réconcilier les deux notions df et delta(f) de sorte à pouvoir calculer la pente entre les deux points x=0 et x=1 sur base de la dérivée df/dx ?
Pour rendre encore les choses plus confuse, la dérivée seconde de la fonction f(x) ci-dessus f''(x)= 2*b. Dans ce cas si on calcule [f'(x+1)-f'(x)]/[(x+1)-x], on trouve [2*a*b+2*b*(x+1)]-[2*a*b+2*b*x]=2*b. Cette fois on a bien une équivalence entre la dérivée et la pente entre deux points puisque la dérivée est constante et la pente aussi dans le cas de la droite f'.
Quelqu'un aurait-il la gentillesse de m'éclairer sur les aspects décrits ci-dessus?
Merci d'avance,
Lucas
Message de lucas posté le 24-01-2009 à 11:35:37 (S | E | F)
Bonjour,
J'ai un doute par rapport au calcul de dérivée lorsqu'il concerne une fonction continue ou une fonction discrète.
Prenons la fonction f(x):=(a+b*x)^2.
Si on considère f(x) continue on calcule df(x)/dx = 2*(a+b*x)*b =2*a*b+2*b*x
Par contre si on prend l'idée que x represente le nombre d'années, on est tenté de dire [f(x+1)-f(x)]/[(x+1)-x]=[(a+b*(x+1))^2]-[(a+b*x)^2]=(b^2+2*a*b)+2*(b^2)*x
Je comprends parfaitement la différence entre f'(0) et f(1) qui donnent la pente de la tangente en 0 et 1 respectivement et [f(1)-f(0)] qui donne la pente de la droite entre ces deux points.
Ce qui m'échappe c'est le lien entre les deux notions. Ne peut-on pas considérer que la focntion discrète est la même que la continue dont on considère seulement les images pour les x entiers? Dans ce cas comment réconcilier les deux notions df et delta(f) de sorte à pouvoir calculer la pente entre les deux points x=0 et x=1 sur base de la dérivée df/dx ?
Pour rendre encore les choses plus confuse, la dérivée seconde de la fonction f(x) ci-dessus f''(x)= 2*b. Dans ce cas si on calcule [f'(x+1)-f'(x)]/[(x+1)-x], on trouve [2*a*b+2*b*(x+1)]-[2*a*b+2*b*x]=2*b. Cette fois on a bien une équivalence entre la dérivée et la pente entre deux points puisque la dérivée est constante et la pente aussi dans le cas de la droite f'.
Quelqu'un aurait-il la gentillesse de m'éclairer sur les aspects décrits ci-dessus?
Merci d'avance,
Lucas
Réponse: Calcul d'une dérivée - variable disc de lucas, postée le 25-01-2009 à 11:55:07 (S | E)
En fait je commence à y voir plus clair. La dérivée est en fait la limite pour e->0 de [f(x+e)-f(x)]/[(x+e-x]= lim(e->o) [f(x+e)-f(x)]/e
Dans mon cas la fonction est définie pour x= le nombre d'années. Ce nombre d'année évoluant incrémentalement d'unité en unité, il est impossible de calculer la dérivée. En fait si on considère une fonction discrète elle n'est pas continue et donc pas dérivable! Par contre on peut toujours calculer la pente entre deux points ...
Reste un point à éclaircir: je travaille avec x, le nombre d'années. Ce nombre est supposé entier mais on pourrait aussi imaginer que je prenne x= 0, 0.5, 1, 1.5, etc de sorte à traiter 6 mois, un an et demi, etc La question serait alors de savoir à partir de quand l'échantillonage est suffisment serré pour pouvoir dire que 'e' peut tendre vers 0 dans la limite décrite ci-dessus?
Lucas
