Nombre complexe dans le plan

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Nombre complexe dans le plan
Message de clem95 posté le 19-02-2012 à 11:03:54 (S | E | F)
Bonjour tout le monde
je suis actuellement en terminale S et j'ai beaucoup de difficulté en maths cette année.. or j'ai travailler comme une folle ce deuxième trimestre pour monter toutes mes notes , et cette semaine juste avant les vacances et donc l'arrêt des notes nos profs nous on tous gentiment donné des interr' et mon prof de maths nous a donné un dm plus une interr' a faire et a préparer pour le même jour , c'est sur les nombres complexes dans le plan et j ai beaucoup de mal .. Je vous donne l énoncer si vous pouvez me donner au moins des pistes , merci beaucoup d 'avance !
exercice 102:
Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct (O, u, v ) , ayant comme unité graphique 4cm.
On note A,B,C les points d'affixes respectives :
2i, -1 et i
On considère l'application f de P / (A) dans P qui , a tout point de M de P/(A) d 'affixe z , associe le point M' d'affixe z' telle que :

z' = (z+1)/(z-2i)

1) a. faire une figure que l'on complétera au cours de l exercice.
b. determiner l'affixe du point C' image de C.
Quelle est la nature du quadrilatère ACBC' ?
c. Démontrer que le point C admet un unique antécédent par f que l'on notera C''
Quelle est la nature du triangle BCC''?

2) Donner une interprétation géométrique de l'argument et du modèle de z'

3)Déterminer , en utilisant la question précédente , quels sont les ensembles suivants:
a.l'ensemble Ea des points M dont les images par f ont pour affixe un nombre réel strictement négatif.
b. l'ensemble Eb des points M dont les images par f ont pour affixe un nombre imaginaire pur non nul.
c. l'ensemble Ec des points M dont les images appartiennent au cercle de centre O et de rayon 1.

J'ai réussi a tracé une figure , j'ai en suite trouvé C'=-1+i

J'ai finalement trouvé que le vecteur AC'=(1;-1)et que le vecteur BC= (1;1) ainsi que le vecteur AC=(1;-2) et le vecteur BC'= (1;2) est ce que je peux dire que les normes des vecteurs AC' et BC sont égaux , ainsi que les normes des vecteurs AC et BC' et alors en conclure que ce quadrilatère est un parallélogramme ? Si c'est bon merci de m aider pour la suite puisque je suis tout de meme bloquée pour le reste...
merci d'avance

Réponse: Nombre complexe dans le plan de iza51, postée le 19-02-2012 à 13:37:35 (S | E)
bonjour
les difficultés ne datent pas de la terminale!
les connaissances requises de seconde ne sont pas connues!!!
Pour prouver que ACBC' est un parallélogramme, il suffit de prouver que deux vecteurs (bien choisis) sont égaux

Pour calculer l'affixe d'un vecteur $\vec{EF}$ , on calcule l'affixe de $\vec{OF}-\vec{OE}$

ce n'est pas le point C' qui est égale à -1+i, c'est son affixe soit z_C' = -1+i

le vecteur $\vec{AC}$ a pour affixe z_C-z_A

calcule l'affixe de $\vec{AC}\quad \text{et l'affixe de} \quad \vec{C'B}$ et conclus correctement

POur répondre à la question 1°c), il va falloir résoudre l'équation i= (z+i)/(z-2i) tu essayeras de comprendre pourquoi et tu le feras!
.

Pour la question 2. c'est du cours
étudie le lien suivant
Lien internet

Réponse: Nombre complexe dans le plan de clem95, postée le 19-02-2012 à 15:13:26 (S | E)
Justement j'ai essayé de faire l'affixe de AC et l'affixe de C'B mais je ne parvient pas a trouver la même chose , puisque j'ai :
zAC= -1
et
zC'B = 1-racine(2)
donc je ne parvient pas a trouver le même résultat ..

Je ne vois pas trop d'où sort cette formule.. mais qud je la résouds je tombe sur i= (zcarré+3iz-2)/(zcarré +4)

Réponse: Nombre complexe dans le plan de iza51, postée le 19-02-2012 à 15:23:26 (S | E)
z_A=21
z_C=i
z_B=-1
z_C'=-1+i
calcule le z du vecteur vec(AC) en utilisant la formule que je t'ai donné
NE PAS confondre affixe et module de l'affixe: z=a + ib avec a et b réels est un nombre complexe
racine carrée de (a²+b²) est un nombre réel positif égal au module de z; graphiquement c'est la distance OM

Résoudre une équation, c'est isoler l'inconnue, ici z, et trouver sa valeur ( obtenir une égalité du type z= ...)

Réponse: Nombre complexe dans le plan de clem95, postée le 19-02-2012 à 15:51:45 (S | E)
J'ai donc fait
zAC=zC-zA
zAC= i-2i
zAC= -i

et zC'B = zB-zC'
zC'B= -1+1-i
zC'B=-i

Je peux donc en conclure que c'est un parallélogramme puisque deux de ses cotés ont même longueurs soit -i.

et j'ai finalement trouvé grâce a i=(z+i)/(z-2i)
z=2/3 -4/3i
est-ce juste ? mais je ne comprends pas pourquoi cette equation :/
parce que i c'est l'affixe de C , mais est ce une erreur de recopiage de la formule de l enoncé et est ce que ce ne serait pas plutot
i= (z+1)/(z-2i) ??

Réponse: Nombre complexe dans le plan de iza51, postée le 19-02-2012 à 15:54:05 (S | E)
oui oui tu as raison j'ai mal copié l'énoncé
on résout i= z' car on cherche l'antécédent de i donc le z qui a pour image z'=i

mais on peut dire que ACBC' est un parallélogramme car les vecteurs vec(AC)=et vec(C'B) sont égaux
PAS parce que les cotés AC et C'B ont la même longueur; l'égalité des longueurs ne suffit pas
L'égalité des vecteurs suffit car un vecteur, c'est aussi une direction et un sens en plus d'une longueur!!!

Réponse: Nombre complexe dans le plan de clem95, postée le 19-02-2012 à 16:16:19 (S | E)
i=z'
i= (z+1)/(z-2i)
iz+2=z+1
iz=Z-1
z(i-1)=-1
z=-1/(i-1)
z=-i-1/-2
z=1/2+i/2

c'est bien ca ?

Réponse: Nombre complexe dans le plan de iza51, postée le 19-02-2012 à 16:22:12 (S | E)
oui c'est ça

Réponse: Nombre complexe dans le plan de clem95, postée le 19-02-2012 à 16:32:18 (S | E)
D'accord merci bcp

Pour trouver la nature du triangle BCC''
j'ai fait : BC/CC''
soit
c-b/c''-c
i-1/-1+1-1
ce qui donne i
mais je suis pas sure de moi je crois que dans ce cas j'ai le droit de dire que le triangle BCC'' est isocèle en C c'est ca ?

Réponse: Nombre complexe dans le plan de clem95, postée le 19-02-2012 à 16:50:45 (S | E)
et l'argument de (i) donne Θ= π/2
donc le triangle BCC'' est rectangle en C

Réponse: Nombre complexe dans le plan de steve1, postée le 19-02-2012 à 17:15:32 (S | E)
Bonjour.
As-tu fait la figure?
Le triangle BCC'' semble t-il isocèle en C ? A quelle condition l'est-il? Reprend tes calculs !
PS: (c-b)/(c''-c)différent de i. Calculs à revoir.
Bon courage

Réponse: Nombre complexe dans le plan de clem95, postée le 19-02-2012 à 17:35:00 (S | E)
oui oui j'ai fait la figure , et BCC'' me semble isocèle mtn je me trompe surement mais je ne sais pas comment faire pour prouver qu'il est rectangle a part en utilisant l'argument comme je l'ai fait si dessus ..

Réponse: Nombre complexe dans le plan de steve1, postée le 19-02-2012 à 17:46:16 (S | E)
b=-1 c=i et c''=1/2+i/2 et tu constates que BCC'' est isocèle ? Ah ...
Pour montrer qu'il est rectangle , tu peux en effet utiliser une mesure de l'argument , mais reprend tes calculs !

Réponse: Nombre complexe dans le plan de clem95, postée le 19-02-2012 à 17:58:09 (S | E)
Je pense avoir trouvé plus simple en utilisant pythagore , mais je dois faire une erreur quelque part parce que ca ne fonctionne pas chez moi..
je pensais faire :
C''Bcarré= C''Ccarré+CBcarré
le problème c'est que j'ai trouvé
C''C=racine(2) /2
C''B=1
et
CB=racine (2)
ce qui ne peut pas fonctionner ..

Réponse: Nombre complexe dans le plan de steve1, postée le 19-02-2012 à 18:04:57 (S | E)
Encore des erreurs de calculs !
Tu peux en effet utiliser le théorème de Pythagore mais il serait judicieux d'utiliser les arguments. Recommence , ne te décourage-pas et attention aux erreurs de calcul !
Au fait , te semble-t-il isocèle?

Réponse: Nombre complexe dans le plan de clem95, postée le 19-02-2012 à 18:17:46 (S | E)
ok j'ai trouvé je crois
j'ai :
zC"C= racine(2)/2
zCB= racine (2)
et
zC"B= racine (10)/2
or C"Bcarré=C"Ccarré+CBcarré
(rac(10)/2)carré = (rac(2)/2)carré+(Rac(2))carré
10/4=10/4
donc le triangle BCC" est rectangle en C

Réponse: Nombre complexe dans le plan de steve1, postée le 19-02-2012 à 18:32:36 (S | E)
Oui d'après le .... ! A préciser!
De plus tu confonds ZC''C et C''C.
Ici , tu utilises les distances ( soit les modules de ZC''C ,... ) et non les affixes. Attention donc.
Par ailleurs , il me semble important que tu utilises les arguments pour démontrer ce résultat.

Réponse: Nombre complexe dans le plan de clem95, postée le 19-02-2012 à 19:22:47 (S | E)
frac{z_{vect{CB}}{z_{vect{CC"}}
= -2i
donc CB/CC"=2 et l'angle de vecteurs ( CC";CB=-pi/2)

triangle rectangle donc en C

2)Si M n'est pas égal a B
arg z'= (vectMA ; vectMB )
(z')=MB/MA

3) Ea:les nombres reeels strictement negatifs ont pour arg pi donc ici pi = (vectMA ; vect MB )
Ea c'est les points M du segment [AB] prive de ses extremites

Eb:les nombres imaginaires non nuls ont pour arg pi/2 +kpi donc ici pi/2 +kpi= (vectMA;vectMB) ceci est equivalent à:
le triangle AMB est rectangle en M
ceci est equivalent à: M est sur le cercle de diametre [AB] prive de ses points A et B

Ec: |z'|=1 ssi MB/MA=1 ssi M est sur la mediatrice de [AB]

Réponse: Nombre complexe dans le plan de vieupf, postée le 19-02-2012 à 19:49:33 (S | E)
Bonsoir clem,

Je suis époustouflé par ce dernier post qui tranche avec tes hésitations précédentes et tes prétendues difficultés avec les nombres complexes !.
J'espère que tu sauras te servir de ces "découvertes" une prochaine fois, ta réponse ressemblant à un "copier-coller".
Bon courage.

Réponse: Nombre complexe dans le plan de clem95, postée le 19-02-2012 à 21:29:45 (S | E)
J'avoue que j'ai été aidée pour la fin , mais je voulais aussi aboutir après une journée de travail pour cet exercice et que ces post puissent aider les prochaines personnes qui auront un exercice de la sorte . Je le retravaillerais puisque je me suis prise assez a l'avance pour y revenir plusieur fois , mais en tout cas merci a tous pour votre aide !

Réponse: Nombre complexe dans le plan de wab51, postée le 20-02-2012 à 08:54:42 (S | E)
Bonjour .A titre d'information seulement,une nouvelle proposition , pour répondre par une autre méthode à la question :Quelle est la nature du triangle BCC''?
On pourrait utiliser aussi « la condition analytique d'orthogonalité de deux vecteurs :T (x ;y) et W (x’ ;y’)orthogonaux ssi x.x’+y.y’=0
vect.BC(1 ;1) ; vect.CC’’(1/2 ;-1/2) .
(1)x(1/2) +(1)x(-1/2)=(1/2)+(-1/2)=0 ,la condition orthogonalité des deux vecteurs étant vérifiée ,
Les 2 vecteurs BC et CC’’ sont orthogonaux autrement dit l' angle BCC’’ =90 degré.Le triangle BCC’’ est rectangle en C.Bravo et bonne continuation .

Réponse: Nombre complexe dans le plan de clem95, postée le 20-02-2012 à 18:14:10 (S | E)
Merci pour cette méthode qui est plus simple je trouve !
Bonne continuation !

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