Récipient carré avec cube et liquide

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Récipient carré avec cube et liquide
Message de bibor215 posté le 06-01-2013 à 23:32:40 (S | E | F)
Bonjour,
~~je propose~~ J'ai un exercice sur lequel je peine un peu, pouvez-vous m'aider, s'il vous plaît ?
Merci pour vos réponses .

on considère un récipient à base carrée de coté 10cm.

1)dans ce récipient on place un cube posé sur le fond de coté a=2cm puis on verse 19,2cl d'eau.
démontrer que la hauteur d'eau coincide avec la hauteur du cube.

2)on remplace le cube par un plus grand de coté b et on constate que la hauteur d'eau coincide encore avec la hauteur du cube.
a)démontrer que b est solution de l'équation x^3-100x 192=0
b)développer (x-2)(x^2 2x-96)
c)résoudre l'équation x^3-100x 192=0 et déduire la valeur de b

3)on considère un cube de coté (0 < x < 10) avec la même quantité d'eau de 19,2cl
a)démontrer que ce cube émerge de l'eau si et seulement si x^3-100x 192<0
b)résoudre l'inéquation x^3-100x 192<0 sur l'intervalle ]0;10[
c)on note b(x) la hauteur d'eau lorsque le récipient contient un cube de coté x
démontrer : quel que soit x élément de ]0;2]U[b;10[ alors b(x)=(x^3 192)/100
et quel que soit x élément de [2;b] alors b(x)=192/(100-x^2)
vérifier que la fonction b est strictement croissante
représenter la courbe (C):y=b(x) et la droite (D):y=x
quelle information nous donnent les positions relatives de (C) et (D)

je trouve cet exercice intéressant mais je cale sur la question 3)c), démontrer b(x) pour les deux intervalles.
quelqu'un peut il m'aider à ce sujet, cela serait très sympathique

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Modifié par bridg le 07-01-2013 05:48
Titre en minuscules

Réponse: Récipient carré avec cube et liquide de milarepa, postée le 07-01-2013 à 12:02:51 (S | E)
Bonjour Bibor,

As-tu un problème avec ta touche "+" (qui n'apparaît pas dans tes équations) ? Si oui, il y en a deux sur ton clavier : rangée des chiffres du haut ou pavé numérique.

Ce problème est l'étude de la hauteur d'eau, à volume d'eau constant, selon la taille de l'objet qu'on place à l'intérieur du récipient.
Pour faciliter les calculs, on choisit un objet cubique.
NB : Le récipient est en fait cubique lui-aussi.

La structure du problème est la suivante (à volume d'eau constant de 192 cm³) :
Q1 : On étudie le cas particulier d'un cube de 2 cm de côté où l'eau affleure l'objet.
Q2 : On te fait découvrir qu'il y a un autre cas particulier où l'eau affleure l'objet avec le même volume d'eau.
Quelle valeur exacte as-tu trouvée pour ce côté ?
Q3 : On en vient enfin au fait : comment se comporte la hauteur d'eau en fonction du volume de l'objet.
Cette analyse est intéressante parce qu'on pourrait imaginer (belle illusion d'interprétation hâtive) que la hauteur croît de façon simple avec la taille de l'objet, ce qui n'est absolument pas le cas en réalité.
On te facilite l'étude en distinguant immédiatement deux cas selon la valeur x du côté du cube :
1- domaine de définition ]0;2]U[b;10[
2- domaine de définition [2;b]
NB : Tu remarques déjà que les valeurs 2 et b sont incluses dans les deux domaines et donc que les fonctions représentatives devront donner le même résultat à ces limites.

En fait que sais-tu déjà ?
Dans Q3-a et Q3-b, on apprend que le cube émerge lorsque la valeur de son arrête est comprise entre 2 et b, donc dans l'intervalle [2;b]. Il est donc immergé en dehors de cet intervalle.
Que peux-tu en déduire ?
Au fur et à mesure que le côté du cube croît, en partant de 0⁺, la hauteur d'eau (volume constant) submerge le cube jusqu'à ce que celui-ci atteigne 2 cm, puis le cube émerge entre 2 et b cm de côté, puis de nouveau l'eau submerge le cube.
C'est cette compréhension que tu dois traduire en équations.

Essaie de voir ce que tu peux faire avec ça.
Bon courage et à plus.

Réponse: Récipient carré avec cube et liquide de bibor215, postée le 08-01-2013 à 00:24:47 (S | E)
bonsoir Milarepa, tout d'abord merci pour le temps consacré à me répondre.
milles excuses pour l'oubli des "+" sur toutes les équations.
dans la question 2-c, je trouve b=-1+ $\sqrt[]{97}$
en question 3-b, j'ai utilisé (x-2)(x^2+2x-96) pour dresser le tableau de signe de l'inéquation x^3-100x+192<0, le tableau confirme les intervalles donnés en 3-c
pour la question 3-c, je pense avoir trouvé:
pour l'intervalle ]0;2]U[-1+ $\sqrt[]{97}$ ;10[ on sait que le liquide submerge le cube, donc b(x) est égale à l'addition des volumes du liquide et du cube divisée par la surface du récipient soit effectivement b(x)= $\frac{x^3+192}{100}$
pour l'intervalle [2;-1+ $\sqrt[]{97}$ ], on sait que le cube émerge du liquide, donc le liquide se retrouve sur une surface S égale à celle du récipient à laquelle on retranche celle du cube.
on divise ensuite le volume du liquide par cette surface S pour obtenir b(x)
d'ou b(x)= $\frac{192}{100-x^2}$
la démonstration est elle convenable d'un point de vue mathématique ?
à bientôt Milarepa

Réponse: Récipient carré avec cube et liquide de milarepa, postée le 08-01-2013 à 09:40:17 (S | E)
Bonjour Bibor,

Q2 : La valeur de b que tu as trouvée est exacte.
NB : En math, pour éviter que le "-" ne se perde au cours des écritures, on écrira plutôt b = √97-1.

Q3 : Oui, c'est juste, sauf pour la dernière formule où ton raisonnement mathématique ne convient pas.
En effet, on ne peut pas raisonner en termes de surfaces. Sans doute as-tu essayé d'interpréter la formule qu'on te donnait mais sans créer le bon raisonnement pour l'obtenir.
Or, un schéma simple te permettrait de visualiser cela. Voici le résumé simple des deux cas :
• Quand le cube est immergé : V_{occupé par la hauteur b d'eau} = V_eau + V_cube , soit 100b = 192 + x³
• Quand le cube émerge : V_{occupé par la hauteur b d'eau} = V_eau + V_{partie immergée du cube} , soit 100b = 192 + x²b

Bonne semaine, Bibor et à plus.

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