Equations differentielles second ordre
Cours gratuits > Forum > Forum maths || En basMessage de antonio410 posté le 04-06-2013 à 23:09:07 (S | E | F)
Bonsoir, pouvez vous m'aider à résoudre ces équations différentielles:
je viens de la part de milarepa
x''(t)-2x'(t)+x(t)=t²exp(t)
y''(x)-5y'(x)+4y(x)=34cos(x)+exp(2x)
Merci
Réponse: Equations differentielles second ordre de wab51, postée le 05-06-2013 à 14:31:33 (S | E)
Bonjour antonio: x"(t)-2x'(t)+x(t)=t² est une équation différentielle linéaire du 2ème ordre avec second membre t²
qui est de la formeP(t)
ou P(t)=t² polynome . Pour résoudre cette équation ,je te présente une marche à suivre :
1°)Chercher une solution générale sans second membre .Pour cela :a1)tu détermines d'abord l'équation caractéristique qui est une équation du 2ème degré en r ,dont tu calcules le discrimnant (ici
=0 donc racine double r1=r2=?) et puis tu en déduis la solution généralede l'équation sans second membre :x=? .
2°)Chercher la solution particulière avec second membre .a2)Tu cherches une solution de la meme forme que la forme du second membre t² c'est à dire de la forme Q(t).e
ou Q(t) est aussi un polynome de la forme t².Q(t) avec degréQ=degré de t² (autrement dit la forme du polynome Q(t)=at²+bt+c ,car
est racine double du polynome caractéristique donc il suffit simplement de poser que x=(a.x
+b.t
+c.t
).e
puis calculer x' et x" et qu'il faut porter ses valeurs dans l'équation générale donnée : x"(t)-2x'(t)+x(t)=t²
et par comparaison tu détermineras les valeurs des coefficients a=?,b=? et c=? D'ou tu en déduis la solution particulière de l'équation avec second membre x=?
3°)La solution générale avec second membre s'obtient par addition de la solution générale sans second membre et de la solution particulière de l'équation avec second membre : x= solution générale sans second membre + solution particulière de l'équation avec second membre .
*Je te conseille de suivre et d'appliquer ce processus de raisonnement en prétant toute l'attention necessaire au calcul et nous transmettre tes résultats .
Bon courage et bonne continuation .
Réponse: Equations differentielles second ordre de antonio410, postée le 05-06-2013 à 18:48:56 (S | E)
bonjour,
je trouve pour l'instant y(t)=q(t)exp(t)=(at²+bt+c)exp(t) car r²-2r+1=0<=>(r-1)²=0<=>r=1 et apres comment vous trouver at^4...
Réponse: Equations differentielles second ordre de wab51, postée le 05-06-2013 à 21:30:56 (S | E)
Bonsoir :Je m'attendais à ce que tu appliques et
dans l'ordre la méthode que je t'avais proposée précédemment pour la
simplicité et la clarté des réponses et des résultats .Ce n'est pas
grave .J'apporte quelques remarques et précisions à ta réponse .
1)Dans l'équation donnée ,il ne s'agit pas de y(t)
mais de x(t)
2)La réponse y(t)=q(t)exp(t)=(at²+bt+c)exp(t)est malheureusement fausse .Tu
as oublié de donner d'abord la solution particulière sans le second
membre (voir recommandations données au 1))de l'équation homogène
y"-2y'+y=o .Je te rappelle qu'elle possède deux solutions exp(t)et
t.exp(t)d’où la solution générale de cette équation x(t)=(A.t +B)exp(t).
Il y'a lieu de noter que le second membre de cette équation donnée est "exponentielle polynôme de forme P(t).exp(t) par conséquent et dans ce cas là je te rappelle le cours "la solution pratique et particulière se cherche sous la meme forme Q(t)exp(
t) où Q(t) serait un polynome de la maniére suivante et dans ce cas précis où
=1 et racine double de r²-2r+1=0 alors le degré de Q(t)=degré de P +2 ,c'est à dire que Q(t) sécrira Q(t)=t²(a.t²+b.t+c)=a.t
+ b.t
+ c.t
.d'ou la forme à retenir de x(t)=(a.t
+ b.t
+ c.t
).e
.Maintenant tu travailles avec cette forme de x(t) ,x'(t),x"(t) que tu remplaces dans l'équationx"-2x'+x=t².e
pour trouver les constantes réelles a,b et c .Réponds donc à cette
question ? (le résultat final est facile).Bonne continuation .
Réponse: Equations differentielles second ordre de wab51, postée le 07-06-2013 à 14:23:15 (S | E)
Bonjour antonio :Permets moi de te dire que tu n'as pas prêté beaucoup d' attention à la méthode que j'ai bien détaillée et bien expliquée dans mes précédents messages .En fait ta question " après comment vous trouvez at²+...? m'a conduit à constater et à dire
"Pourquoi donc et à travers ton raisonnement dans le 1er exercice y'(x)-5y(x)=x²+exp(3x),tu t'es contenté simplement d'admettre qu'il faut prendre et poser que p(x)=at²+bt+c (et passé inaperçu sur la question à comprendre pourquoi)? Eh,bien!et à vrai dire ,c'est donc la même question mais décalée .En fait ,voilà l'explication :On convient dans les résolutions des équations différentielles du 1er ou du 2ème ordre avec second membre d'utiliser cette dite méthode pratique qui consiste à chercher à écrire y(x) sous la même forme que la forme du second membre de l'équation,puis après remplacement et identification des constantes on arrive facilement à la vraie solution générale de l'équation y(x). Ainsi par exemple :
1)Pour le 1er exercice :il fallait d'abord voir que le second membre est la somme d'une fonction polynôme x² et d'une fonction exponentielle exp(3x),par conséquent et d'après le principe précédent on pose y(x)= p(x)+C.exp(3x) (dont p(x) est un polynôme dont on cherche évidemment la nature) et puis on passe au calcul :
y'(x)=p'(x)+3Cexp(3x)d'ou en portant dans y'(x)-5y(x)=x²+exp(3x)et après tout calcul fait on aboutit à p'(x)-5p(x)=x².et c'est là ,le vrai et seul moment de bien réfléchir .On constate donc bien que cette égalité entre le 1er polynôme p'(x)-p(x)et le 2ème polynôme x²ne serait vérifiée que si le polynome p(x)est du second degré et de la forme p(x)= ax²+bx+c ,où a,b et c sont des constantes réelles..Voilà donc une démonstration répondant à ta question .
2°)Pour le 2ème exercice ,je ne pourrais faire une démonstration sinon j'aurais répondu à ta place (ce qui est insensé et intolérable).Tu as tous les éléments et la méthode pour nous montrer comment tu fais et j'y serais là avec plaisir pour t'aider sans problème .Cordialement et bonne continuation .
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